Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Sửa đề: Có tổng 2 nghiệm bằng tích của chúng

Δ=(m+1)^2-4*2*(m-1)

=m^2+2m+1-8m+8=m^2-6m+9=(m-3)^2>=0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm

x1+x2=x1*x2

=>(m+1)/2=(m-1)/2

=>m=0

Sửa đề: Có tổng 2 nghiệm bằng tích của chúng

Δ=(m+1)^2-4*2*(m-1)

=m^2+2m+1-8m+8=m^2-6m+9=(m-3)^2>=0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm

x1+x2=x1*x2

=>(m+1)/2=(m-1)/2

=>m=0

Δ=(m+2)^2-4(m^2-1)

=m^2+4m+4-4m^2+4

=-3m^2+4m+8

Để phương trình có hai nghiệm thì -3m^2+4m+8>=0

=>\(\dfrac{2-2\sqrt{7}}{3}< =m< =\dfrac{2+2\sqrt{7}}{3}\)

x1-x2=2

=>(x1-x2)^2=4

=>(x1+x2)^2-4x1x2=4

=>(m+2)^2-4(m^2-1)=4

=>-3m^2+4m+8=4

=>-3m^2+4m+4=0

=>m=2 hoặc m=-2/3

\(2x^2-\left(m+1\right)x+m-1=0\left(1\right)\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì:

\(\Delta\ge0\Rightarrow\left(m+1\right)^2-4.2.\left(m-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-8m+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(\forall m\) thì phương trình (1) luôn có nghiệm.

Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ với \(x_1\ge x_2\) \(\Rightarrow x_1-x_2\ge0\)

Theo định lí Viete ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1x_2=\dfrac{m-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vì hiệu 2 nghiệm bằng tích của chúng nên ta có:

\(x_1-x_2=\left|x_1x_2\right|\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1x_2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(x_1x_2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m+1}{2}\right)^2-4.\dfrac{m-1}{2}=\left(\dfrac{m-1}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-8\left(m-1\right)=\left(m-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-8m+8=m^2-2m+1\)

\(\Leftrightarrow4m=8\Leftrightarrow m=2\)

Vậy \(m=2\)

x1-x2=(m-1)/2

=>(x1-x2)^2=(m-1)^2/4

=>(x1+x2)^2-4x1x2=1/4(m^2-2m+1)

=>(m+1/2)^2-4*(m-1)/2=1/4m^2-1/2m+1/4

=>m^2+m+1/4-2m+2-1/4m^2+1/2m-1/4=0

=>3/4m^2-1/2m+2=0

=>3m^2-2m+8=0

=>PTVN

\(\Leftrightarrow m\left(x^3+3x^2-4\right)+\left(x^3-x^2-x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x-1\right)\left(x^2+4x+4\right)+\left(x-1\right)\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\left(m+1\right)x^2+4mx+4m-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\\left(m+1\right)x^2+4mx+4m-1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Pt đã cho có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb khác 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\\Delta'=4m^2-\left(4m-1\right)\left(m+1\right)>0\\m+1+4m+4m-1\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\-3m+1>0\\m\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\left\{-1;0\right\}\\m< \dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

a: Khi m=-1 thì pt sẽ là x^2+3x+3=0

Δ=3^2-4*1*3=9-12=-3<0

=>PTVN

b: \(\text{Δ}=3^2-4\left(-m+2\right)=9+4m-8=4m+1\)

Để phương trình có hai nghiệm pb âm thì

\(\left\{{}\begin{matrix}4m+1>0\\-m+2>0\\-3< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{1}{4}\\m< 2\end{matrix}\right.\)

`h)3\sqrt{50}-2\sqrt{12}-\sqrt{18}+\sqrt{75}-\sqrt{8}`

`=15\sqrt{2}-4\sqrt{3}-3\sqrt{2}+5\sqrt{3}-2\sqrt{2}`

`=10\sqrt{2}+\sqrt{3}`

________________________________

`k)3\sqrt{3x}+\sqrt{12x}-\sqrt{48x}`      `(x > 0)`

`=3\sqrt{3x}+2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}`

`=\sqrt{3x}`

1: Khi m=5 thfì phương trình sẽ là:

\(x^2-2\cdot4x+2\cdot5-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x+7=0\)

=>x=1 hoặc x=7

2: \(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+12\)

\(=4m^2-16m+16=\left(2m-4\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm

1:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x+1}{x+1}+\dfrac{3y}{y-1}=1\\\dfrac{3x}{x+1}-\dfrac{4y}{y-1}=10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2-\dfrac{1}{x+1}+3+\dfrac{3}{y-1}=1\\3-\dfrac{3}{x+1}-\dfrac{4y-4+4}{y-1}=10\end{matrix}\right.\)

=>-1/(x+1)+3/(y-1)=1-2-3=-5 và -3/(x+1)-4/(y-1)=10-3-4=3

=>x+1=13/11 và y-1=-13/18

=>x=2/11 và y=5/18

Đặt x²=t \(\left(t\ge0\right)\)

=> pt 1 trở thành at² + bt +c =0     \(\left(2\right)\)

Để pt 1 cso 4 nghiệm phân biệt thì pt 2 phải có 2 nghiệm dương phân biệt 

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\)

Δ<0 hoặc ⎧⎩⎨⎪⎪Δ≥0S<0P>0 

ĐK: c/a>0 và -b/a>0