Nội dung lý thuyết
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng
\(ax^4+bx^2+c=0\left(a\ne0\right)\qquad\left(1\right)\)
Ví dụ: \(x^4-3x^2+4=0\), \(-4x^4+7=0\), \(\dfrac{1}{2}x^4-2x^2=0\) là các phương trình trùng phương.
Nhận xét: Bằng cách đặt ẩn phụ, ta có thể chuyển phương trình trùng phương về phương trình bậc hai và giải phương trình dựa trên các kiến thức đã được học.
Cụ thể, ta có cách giải phương trình trùng phương như sau:
- Bước 1: Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\). Phương trình (1) trở thành: \(at^2+bt+c=0\qquad\left(2\right)\).
- Bước 2: Giải phương trình (2), lấy các nghiệm thỏa mãn điều kiện \(t\ge0\).
- Bước 3: Với các giá trị \(t\) vừa tìm được, quay lại tìm nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ: Giải phương trình \(x^4-13x^2+36=0\).
Lời giải:
Bước 1: Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\), phương trình đã cho trở thành:
\(t^2-13t+36=0\left(2\right)\)
Bước 2: Giải phương trình (2):
Ta có: \(\Delta=\left(-13\right)^2-4.1.36=25>0\Rightarrow\sqrt{\Delta}=5\)
\(\Rightarrow\) Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \(\left\{{}\begin{matrix}t_1=\dfrac{13+5}{2}=9\left(TM\right)\\t_2=\dfrac{13-5}{2}=4\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình (1):
Với \(t=t_1=9\) ta có: \(x^2=9\Leftrightarrow x=\pm3\).
Với \(t=t_2=4\) ta có: \(x^2=4\Leftrightarrow x=\pm2\).
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: \(x_1=2;x_2=-2;x_3=3;x_4=-3\).
Nhận xét: Với một số phương trình, ta cần thực hiện các bước biến đổi để đưa về đúng dạng phương trình trùng phương, sau đó mới giải phương trình.
Ở lớp 8 ta đã biết, khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
- Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
- Bước 4: So sánh các nghiệm vừa thu được với điều kiện xác định và kết luận.
Ví dụ: Giải phương trình \(\dfrac{x^2-3x+6}{x^2-9}=\dfrac{1}{x-3}\quad\left(1\right)\)
Lời giải:
Điều kiện xác định: \(x\ne\pm3\).
Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{x^2-3x+6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{1}{x-3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-3x+6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\\ \Leftrightarrow x^2-3x+6=x+3\\ \Leftrightarrow x^2-4x+3=0\)
Ta có: \(1+\left(-4\right)+3=0\)
\(\Rightarrow\) Theo hệ thức Vi-et: phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\left(TM\right)\\x_2=3\left(L\right)\end{matrix}\right.\).
Vậy phương trình (1) có nghiệm \(x=1\).
- Phương trình tích là loại phương trình quen thuộc mà ta đã biết cách giải. Với một số phương trình, ta cần thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử trước khi thực hiện giải phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình \(\left(x-3\right)\left(x^2+4x-5\right)=0\quad\left(1\right)\)
Lời giải:
Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x^2+4x-5=0\end{matrix}\right.\)
+) \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\).
+) \(x^2+4x-5=0\quad\left(2\right)\):
\(\Delta=4^2-4.1.\left(-5\right)=36\Rightarrow\sqrt{\Delta}=6\)
\(\Rightarrow\) Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{-4+6}{2}=1;x_2=\dfrac{-4-6}{2}=-5\).
Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm \(x=1;x=3;x=-5\).