Nội dung lý thuyết
Xét phương trình \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\):
Ta đã biết: trong trường hợp \(\Delta\ge0\), phương trình có nghiệm và chúng được viết dưới dạng: \(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a};x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\).
Khi đó ta có:
\(x_1+x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=-\dfrac{b}{a}\);
\(x_1x_2=\dfrac{\left(-b+\sqrt{\Delta}\right)\left(-b-\sqrt{\Delta}\right)}{4a^2}=\dfrac{b^2-\Delta}{4a^2}=\dfrac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}=\dfrac{c}{a}\).
Như vậy, ta có kết luận:
ĐỊNH LÍ VI - ÉT:
Nếu \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\) thì
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}\end{matrix}\right.\)
Ta xét bài toán: Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng \(S\) và tích của chúng bằng \(P\).
Gọi một số cần tìm là \(x\) thì số còn lại phải là \(S-x\).
Theo giả thiết, ta có: \(x\left(S-x\right)=P\Leftrightarrow x^2-Sx+P=0\).
Nếu \(\Delta=S^2-4P\ge0\) thì phương trình trên có nghiệm. Các nghiệm này chính là số cần tìm.
Như vậy ta có kết luận:
Nếu hai số có tổng là \(S\) và tích là \(P\) thì hai số đó là nghiệm của phương trình
\(x^2-Sx+P=0\)
Điều kiện để có hai số đó là \(S^2-4P\ge0\).
Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng của chúng là 27 và tích của chúng là 180?
Lời giải:
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình \(x^2-27x+180=0\).
Ta có: \(\Delta=27^2-4.1.180=729-720=9>0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{27+\sqrt{9}}{2}=15,x_2=\dfrac{27-\sqrt{9}}{2}=12\).
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.
Chú ý: Trong một số trường hợp, ta có thể dùng tổng và tích để nhẩm nhanh các số cần tìm.
Ví dụ 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 6 và tích của chúng bằng 8?
Lời giải:
Ta có thể nhẩm nhanh được: 2+4=6, 2.4=8. Vậy hai số cần tìm là 2 và 4.
Ta xét hai trường hợp đặc biệt:
Ví dụ 1: Xét phương trình \(2x^2-5x+3=0\).
Ta có: \(a+b+c=2+\left(-5\right)+3=0\).
Thay \(x=1\) vào phương trình trên ta được: \(2.1^2-5.1+3=0\Leftrightarrow0=0\) (luôn đúng)
\(\Rightarrow\) \(x_1=1\) là một nghiệm của phương trình.
Theo hệ thức Vi - ét: \(x_1.x_2=\dfrac{3}{2}\Rightarrow x_2=\dfrac{3}{2}\).
Ta có nhận xét tổng quát:
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\), một nghiệm là \(x_2=\dfrac{c}{a}\).
Ví dụ 2: Xét phương trình \(3x^2+7x+4=0\).
Ta có: \(a-b+c=3-7+4=0\).
Thay \(x=-1\) vào phương trình ta được: \(3.\left(-1\right)^2+7.\left(-1\right)+4=0\Leftrightarrow0=0\) (luôn đúng)
\(\Rightarrow x_1=-1\) là một nghiệm của phương trình.
Theo hệ thức Vi - ét: \(x_1.x_2=\dfrac{4}{3}\Rightarrow x_2=-\dfrac{4}{3}\).
Ta có nhận xét tổng quát:
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\), một nghiệm là \(x_2=-\dfrac{c}{a}\).
Áp dụng: Tìm nghiệm của phương trình \(5x^2-6x+1=0\)?
Ta có \(5+\left(-6\right)+1=0\Rightarrow\) Phương trình có hai nghiệm \(x_1=1;x_2=\dfrac{1}{5}\).
Ví dụ: Biết \(x=-3\) là một nghiệm của phương trình \(3x^2+2x-21=0\). Tìm nghiệm còn lại?
Gọi nghiệm còn lại của phương trình là \(x\). Theo hệ thức Vi - ét ta có:
\(-3.x=-\dfrac{21}{3}=-7\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}\).
Ví dụ: Tìm \(m\) để phương trình \(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+2=0\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(3x_1x_2-5\left(x_1+x_2\right)+7=0\).
Lời giải:
Ta có: \(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+2\right)=4m-7\).
Phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow4m-7\ge0\Leftrightarrow m\ge\dfrac{7}{4}\).
Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1.x_2=m^2+2\end{matrix}\right.\).
Khi đó ta có: \(3x_1x_2-5\left(x_1+x_2\right)+7=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(m^2+2\right)-5\left(2m+1\right)+7=0\\ \Leftrightarrow3m^2-10m+8=0\)
\(\Delta=\left(-10\right)^2-4.3.8=4>0\) \(\Rightarrow\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(\left\{{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{10+2}{6}=2\left(TM\right)\\m_2=\dfrac{10-2}{6}=\dfrac{4}{3}\left(L\right)\end{matrix}\right.\).
Vậy giá trị cần tìm là \(m=2\).