\(Lim_{x\rightarrow2}\dfrac{\left(2x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}=lim_{x\rightarrow2}\dfrac{2x-1}{x^2+2x+4}=\dfrac{2.2-1}{2^2+2.2+4}=\dfrac{1}{4}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^+}\dfrac{\sqrt{8+2x}-2}{\sqrt{x+2}}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{2x+8-4}{\left(\sqrt{2x+8}+2\right)\cdot\sqrt{x+2}}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{2\cdot\sqrt{x+2}}{\sqrt{2x+8}+2}=\dfrac{2\cdot\sqrt{-2+2}}{\sqrt{2\cdot\left(-2\right)+8}+2}\)

=0

Lời giải:

\(\lim\limits_{x\to 1-}\frac{2x+1}{x-1}=-\infty\) do với $x\to 1-$ thì $\lim(2x+1)=3>0$ và $\lim (x-1)=0$ và $x-1<0$

\(\lim\limits_{x\to 6}\frac{(5x-4)\sqrt{2x-3}+x-84}{x-6}=\lim\limits_{x\to 6}\frac{(5x-4)(\sqrt{2x-3}-3)+16(x-6)}{x-6}\)

\(=\lim\limits_{x\to 6}\frac{(5x-4).\frac{2(x-6)}{\sqrt{2x-3}+3}+16(x-6)}{x-6}=\lim\limits_{x\to 6}[\frac{2(5x-4)}{\sqrt{2x-3}+3}+16]=\frac{74}{3}\)

số mũ cao nhất đưa ra ngoài, các số mũ nhỏ hơn hoặc số ko có chứa cái số mũ cao nhất ấy thì em đặt nó trên số mũ cao nhất (ko biết giải thích vậy có ai hiểu ko)

= \(lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{4-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{3}{x^2}+2}=\dfrac{4}{2}=2\)

Đầu tiên em cần phải hiểu \(x\rightarrow+\infty\) nghĩa là gì đã

Toàn bộ phép giới hạn này được diễn giải ra sẽ là: giá trị của biểu thức \(\dfrac{4x^2-x-1}{3+2x^2}\) sẽ rất gần (tiến tới) một giá trị bằng bao nhiêu khi thay x bằng một số vô cùng lớn.

Tiếp theo, 1 quy tắc đơn giản: \(\dfrac{hằng-số}{biến}\) sẽ bằng bao nhiêu khi biến số là 1 số vô cùng lớn

Chúng ta sẽ ví dụ: \(\dfrac{10}{x}\)

Với  \(x=1\Rightarrow\dfrac{10}{x}=10\) rất lớn so với 0

\(x=10\Rightarrow\dfrac{10}{x}=1\) lớn hơn 0, nhưng không nhiều

\(x=100\Rightarrow\dfrac{10}{x}=0,1\) lớn hơn 0, nhưng không đáng kể

\(x=1000000\Rightarrow\dfrac{10}{x}=0,00001\) lớn hơn 0, nhưng cực kì gần 0

Vậy bây giờ cho x bằng 1 số siêu lớn, ví dụ 1000 tỉ? Giá trị \(\dfrac{10}{x}\) sẽ vô cùng gần 0, có thể coi nó như 0

Cho nên, khi \(x\rightarrow\infty\) thì \(\dfrac{a}{x}\) với a là hằng số sẽ có thể coi như bằng 0 (nếu mẫu số là mũ bậc cao, ví dụ \(x^2;x^5\) thì nó tiến sát 0 càng nhanh hơn nữa)

Do đó, \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{4-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{3}{x^2}+2}=\dfrac{4-0-0}{0+2}=2\)

Đây là cách hiểu chính xác của giới hạn khi biến tiến tới vô cực

chia cả tử và mẫu cho x^2

\(\dfrac{4x^2-x-1}{3+2x^2}=\dfrac{\dfrac{4x^2}{x^2}-\dfrac{x}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{2x^2}{x^2}}=\dfrac{4-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{3}{x^2}+2}=\dfrac{4-0-0}{0+2}=\dfrac{4}{2}=2\)

Lời giải:
$x\to -2$ thì $2x+1\to -3<0$

$x\to -2$ thì $(x+2)^2\to 0$

$\Rightarrow \lim\limits_{x\to -2}\frac{2x+1}{(x+2)^2}=-\infty$

\(\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{\sqrt{4x+5}-2x-3}{\left(x+1\right)^2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{4x+5-\left(2x+3\right)^2}{\sqrt{4x+5}+2x+3}\cdot\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\left(\dfrac{4x+5-4x^2-12x-9}{\left(\sqrt{4x+5}+2x+3\right)\cdot\left(x+1\right)^2}\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\left(\dfrac{-4x^2-8x-4}{\left(\sqrt{4x+5}+2x+3\right)\cdot\left(x+1\right)^2}\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\left(\dfrac{-4\left(x^2+2x+1\right)}{\left(x+1\right)^2\cdot\left(\sqrt{4x+5}+2x+3\right)}\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{-4}{\sqrt{4x+5}+2x+3}\)

\(=\dfrac{-4}{\sqrt{-4+5}-2+3}=\dfrac{-4}{1+1}=-\dfrac{4}{2}=-2\)

kékduhchchdjjdj