Đặt \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}=x;\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}=y;\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}=z\)

Nếu 1 trong 3 số \(x,y,z>1\) thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng

Xét \(x,y,z\in\left(0,1\right)\)

\(x^2=\dfrac{a^2}{a^2+8bc}\rightarrow\dfrac{1}{x^2}-1=\dfrac{a^2+8bc}{a^2}-1=\dfrac{8bc}{a^2}\)

\(\rightarrow\dfrac{1-x^2}{x^2}=\dfrac{8bc}{a^2}\) . Tương tự

\(\rightarrow\dfrac{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)}{x^2y^2z^2}=\dfrac{512a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=512\)

\(\rightarrow\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)=512x^2y^2z^2\left(1\right)\)

Phản chứng . Giả sử \(x+y+z< 1\)

\(\rightarrow\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)>\left[\left(x+y+z\right)^2-x^2\right].\left[\left(x+y+z\right)^2-y^2\right].\left[\left(x+y+z\right)^2-z^2\right]=\left(x+x+y+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y+y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y+z+z\right)\left(x+y\right)\ge4\sqrt[4]{x^2yz}.2\sqrt{yz}.4\sqrt[4]{xy^2z}.2\sqrt{xz}.4\sqrt[4]{xy^2z}.2\sqrt{xy}=512x^2y^2z^2\)

\(\)Trái với (1)

Do đó điều giả sử là sai

\(\rightarrow x+y+z\ge1\left(đ\cdot p\cdot c\cdot m\right)\)

Cho hàm số \(f:Z^+\rightarrow R^+\) thỏa mãn các điều kiện

\(1.f_{\left(x\right)}=0\leftrightarrow x=0\)

\(2.f_{\left(xy\right)}=f_{\left(x\right)}f_{\left(y\right)}\left(\forall x,y\in Z^+\right)\)

\(3.f_{\left(x+y\right)}=f_{\left(x\right)}+f_{\left(y\right)}\left(\forall x,y\in Z^+\right)\)

Gọi \(n_o\) là số nguyên dương bé nhất trong các số nguyên dương m thõa mãn điều kiện \(f_{\left(m\right)}>1\). Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có bất đẳng thức sau : 

                                   \(f_{\left(n\right)}< \dfrac{\left(f_{\left(n_o\right)}\right)^{1+\left[log_{n_o}n\right]}}{f_{\left(n_o\right)}-1}\)

\(\left[a\right]\) là phần nguyên của số thực \(a\)

Đặt \(f_{\left(x\right)}=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\)

\(f_{\left(x\right)}=x\leftrightarrow ax^2+bx+c=x\leftrightarrow ax^2+\left(b-1\right)x+c=0\)

\(\Delta=\left(b-1\right)^2-4ac< 0\)

\(f_{\left(f_{\left(x\right)}\right)}=x\leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=x\)

\(\leftrightarrow\left(a^2x^2+a\left(b+1\right)x+ac+b+1\right)\left(ax^2+\left(b-1\right)x+c\right)=0\)

Do\(\left(ax^2+\left(b-1\right)x+c\right)\ne0\)

\(\leftrightarrow a^2x^2+a\left(b+1\right)x+ac+b+1=0\)

\(\Lambda=\left[a\left(b+1\right)\right]^2-4a^2\left(ac+b+1\right)=a^2\left[\left(b+1\right)^2-4\left(ac+b+1\right)\right]=a^2\left[\left(b-1\right)^2-4ac-4\right]< 0\)

-> đpcm

mình dí nhầm chờ mình cập nhật nha

Áp dụng AM-GM

\(2+\dfrac{1}{xy}\ge2\sqrt{\dfrac{x^3}{2y}.\dfrac{y^3}{2x}}+\dfrac{2}{x^2y^2}=xy+\dfrac{2}{\left(xy\right)^2}\)

\(\rightarrow\)\(2+\dfrac{1}{xy}-xy-\dfrac{2}{\left(xy\right)^2}\ge0\)\(\rightarrow1\le xy\le2\)

\(P\ge2\sqrt{x^2y^2.1}+2\sqrt{x^2.y^2}+\dfrac{2}{2xy-1}=4xy+\dfrac{2}{2xy-1}=2\left(2xy-1\right)+\dfrac{2}{2xy-1}+2\ge2\sqrt{2\left(2xy-1\right).\dfrac{2}{2xy-1}}+2=6\)

Dấu "=" \(x=y=1\)

sử dụng cô si thuần là được

Do xy > 0 nên x,y cùng dấu do đó mấy phân số đó dương dẫn đến ...

vậy hả

Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(A\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{4}{1}\right)^2=\dfrac{25}{2}\)

Dấu "=" \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

(1)

Đặt