\(\Leftrightarrow ab-4a+3b-12-\left(ab+4a-3b-12\right)=0\)

=>-4a+3b-4a+3b=0

=>-8a=-6b

=>4a=3b

hay a/3=b/4

Ta có :

\(\left(a+3\right)\left(b-4\right)\left(a-3\right)\left(b+4\right)=0\)

\(\Rightarrow ab-4a+3b-12-\left(ab+4a-3b-12\right)=0\)

\(\Rightarrow ab-4a+3b-12-ab+4a+3b+12=0\)

\(\Rightarrow6b-8a=0\)

\(\Rightarrow3b=4a\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}\)

\(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\\\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\\\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0\\\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0\)

Ta thấy: \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\)

              \(\left(b-c\right)^2\ge0\forall b;c\)

              \(\left(a-c\right)^2\ge0\forall a;c\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\forall a;b;c\)

Mặt khác: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)

nên: \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\left(dpcm\right)\)

#\(Toru\)

$a+b+c \ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

$\Leftrightarrow 2a+2b+2c \ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}$

$\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a \ge 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2 \ge 0$ luôn đúng với $a,b,c \ge 0$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Ta có: \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b,c không âm)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2};\sqrt{bc}\le\dfrac{b+c}{2};\sqrt{ca}\le\dfrac{c+a}{2}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le\dfrac{a+b+b+c+c+a}{2}\)\(=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)

Ta có: \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0\)

Mặt khác: \(a^2\ge0\forall a;b^2\ge0\forall b;c^2\ge0\forall c\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge0\) 

Suy ra: \(2ab+2bc+2ac=0\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac=0\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)^2=0\) (1)

Lại có: \(a^4+b^4+c^4\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2\right]\)

\(=0-2\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2+2\left(ab+bc+ac\right)-2\left(ab+bc+ac\right)\right]\)

\(=-2\left(ab+bc+ac\right)^2-4\left(ab+bc+ac\right)\)

\(=0\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)^2=0\)

hay \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+ac+bc\right)^2\)

Kiểm tra hộ mình xem có đúng không ạ!

\(\left(a+c\right)\left(b-d\right)=\left(a-c\right)\left(b+d\right)\)

\(\Leftrightarrow ab-ad+bc-cd=ab+ad-bc-cd\)

\(\Leftrightarrow-ad+bc=ad-bc\)

\(\Leftrightarrow2bc=2ad\)

\(\Leftrightarrow bc=ad\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) (đpcm)

\(\left(a+b\right)\left(b-d\right)=\left(a-c\right)\left(b+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\) (Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) (đpcm)

đb bị thiếu nhá bn, mik bổ sung ns sẽ thành: thỏa mãn a\(\le b\le c\)

Ta có \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\le\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}\)

bn tự chuyển vế quy đồng, sau đó ghép cặp nha

\(\dfrac{a^2\left(c-b\right)+b^2\left(a-c\right)+c^2\left(b-a\right)}{abc}\)

\(\dfrac{a^2\left(c-b\right)-b^2\left(a-c\right)+c^2\left(b-a\right)}{abc}\)

\(\dfrac{a^2\left(c-b\right)-b^2\left(c-b+b-a\right)+c^2\left(b-a\right)}{abc}\le0\)

\(\dfrac{a^2\left(c-b\right)-b^2\left(c-b\right)-b^2\left(b-a\right)+c^2\left(b-a\right)}{abc}0\le\)

\(\dfrac{\left(a-c\right)\left(a+b\right)\left(c-b\right)-\left(b-c\right)\left(b+c\right)\left(b-a\right)}{abc}\le0\)

\(\dfrac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left[\left(a+b\right)-\left(b+c\right)\right]}{abc}\le0\)

\(\dfrac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}{abc}\le0\)

Vì: \(0< a\le b\le c\) nên a-b <0; \(c-b\ge0\) \(a-c\le0\)

=>(a-b)(c-b)(a-c) \(\le\) 0 =>\(\dfrac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}{abc}\le0\) ( đpcm)

Tích mình nhá, các bạn CTV hoặc thầy cô có thể kiểm tra lại xem em có làm đúng ko nhá ( đánh máy vội nên sẽ bị sai vài chỗ nên bn nhớ để ý nha )

Nhanh nha 

a: Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{bk}{bk-b}=\dfrac{k}{k-1}\)

\(\dfrac{c}{c-d}=\dfrac{dk}{dk-d}=\dfrac{k}{k-1}\)

Do đó: \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)

Lời giải:
a) 

$\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}$

$\Leftrightarrow \frac{ad-bc}{bd}< 0$

Vì $bd>0$ với mọi $b,d>0$ nên $ad-bc< 0\Leftrightarrow ad< bc$

b) Từ phần a suy ra $bc-ad>0$

$\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+c)-a(b+d)}{b(b+d)}=\frac{bc-ad}{b(b+d)}>0$ do $bc-ad>0$ và $b(b+d)>0$ với mọi $b,d>0$)

$\Rightarrow \frac{a+c}{b+d}>\frac{a}{b}$

Lại có:
$\frac{a+c}{b+d}-\frac{c}{d}=\frac{d(a+c)-c(b+d)}{d(b+d)}=\frac{ad-bc}{d(b+d)}<0$ do $ad-bc<0$ và $d(b+d)>0$ với mọi $b,d>0$

$\Rightarrow \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}$ 

Ta có đpcm.