Cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=m^2+3\\x-y=-4\end{matrix}\right.\)(m là tham số). CMR: Với mọi \(m\ne-1\), hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y). Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=x^2-2y+10\)
Bài 1: Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=9\\mx-3y=4\end{matrix}\right.\) (m là tham số)
a) Giải hệ phương trình với m = 3
b) Tìm m để hệ có nghiệm x= -1, y=3
c) Chứng tỏ hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của tham số m
(mink đag cần gấp)
a. Bạn tự giải
b. Thế cặp nghiệm x=-1, y=3 vào hệ ban đầu ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}-1+3m=9\\-m-9=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m=10\\-m=13\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn
c. \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+m^2y=9m\\mx-3y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+3\right)y=9m-4\\mx-3y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{9m-4}{m^2+3}\\x=\dfrac{4m+27}{m^2+3}\end{matrix}\right.\)
Vậy với mọi m thì hệ luôn có nghiệm duy nhất như trên
cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=2m\end{matrix}\right.\)(m là tham số ).Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\y\ge1\end{matrix}\right.\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{1}\)
=>\(m^2\ne1\)
=>\(m\notin\left\{1;-1\right\}\)
Khi \(m\notin\left\{1;-1\right\}\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=2m\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m\left(m+1-my\right)+y=2m\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m^2+m-m^2y+y-2m=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y\left(-m^2+1\right)=-m^2+m\\x=m+1-my\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m^2-m}{m^2-1}=\dfrac{m\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\dfrac{m}{m+1}\\x=m+1-\dfrac{m^2}{m+1}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m}{m+1}\\x=\dfrac{\left(m+1\right)^2-m^2}{m+1}=\dfrac{2m+1}{m+1}\end{matrix}\right.\)
Để \(\left\{{}\begin{matrix}x>=2\\y>=1\end{matrix}\right.\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1}{m+1}>=2\\\dfrac{m}{m+1}>=1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2\left(m+1\right)}{m+1}>=0\\\dfrac{m-m-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2m-2}{m+1}>=0\\\dfrac{-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{m+1}>=0\\-\dfrac{1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m+1< 0\)
=>m<-1
Cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}2\left|x\right|-y=1\\mx+y=m+1\end{matrix}\right.\), m là tham số. Hệ có nghiệm duy nhất khi nào?
TH1: x>0
Hệ phương trình sẽ trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\mx+y=m+1\end{matrix}\right.\)
Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{2}{m}\ne-\dfrac{1}{1}=-1\)
=>\(m\ne-2\)
TH2: x<0
Hệ phương trình sẽ trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}-2x-y=1\\mx+y=m+1\end{matrix}\right.\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \(-\dfrac{2}{m}\ne-\dfrac{1}{1}=-1\)
=>m<>2
Cho hệ phương trình (m là tham số) \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\mx+y=m\end{matrix}\right.\) tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Hệ đẫ cho có nghiệm duy nhất khi \(m\ne-1\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\m\left(1+y\right)+y=m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\m+my+y=m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\y\left(m+1\right)=0\end{matrix}\right.\) (*)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\) m + 1 \(\ne\) 0 \(\Leftrightarrow\) m \(\ne\) -1
Khi đó: (*) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\y=\dfrac{0}{m+1}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+0=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
Vậy m \(\ne\) -1 thì hpt có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
Chúc bn học tốt!
.
Cho hệ phương trình với tham số m:\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ;y ) mà S= y–x đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\m\left(2-my\right)-2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\2m-m^2y-2y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\2m-\left(m^2y+2y\right)=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\m^2y+2y=2m-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\y\left(m^2+2\right)=2m-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-\dfrac{m\cdot\left(2m-1\right)}{m^2+2}\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m^2+4-2m^2+m}{m^2+2}=\dfrac{m+4}{m^2+2}\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)
Tới đây bạn tự làm tiếp nhé
Cho hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=18\\x-y=-6\end{matrix}\right.\) (m là tham số)
a.Giải hệ phương trình trên với m=1
b.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y=9
a. Với `m=1`, ta có HPT: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=18\\x-y=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=-6\\3y=24\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=8\end{matrix}\right.\)
b. Theo đề bài `=>` \(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=18\\x-y=-6\\2x+y=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=18\\x=1\\y=7\end{matrix}\right.\)
`=> m=4`
a) Thay m=1 vào hệ phương trình, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=18\\x-y=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3y=24\\x-y=-6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=8\\x=-6+y=-6+8=2\end{matrix}\right.\)
Cho hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+x=1\\2x-y=m\end{matrix}\right.\)
a) Giải hệ phương trình với m= -1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m x>0
y \(\le\) 0
a, Thay \(m=-1\) vào
\(=>\left\{{}\begin{matrix}-x+y=1\\2x-y=-1\end{matrix}\right.\\ =>\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)
b, Để hệ pt có nghiệm duy nhất :
\(\dfrac{m}{2}\ne\dfrac{1}{-1}\\ =>\dfrac{m}{2}\ne-1\\ =>m\ne-2\)
Cho hệ phương trình :\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\) (m là tham số)
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x + y < 0
Lời giải:
Từ PT$(1)\Rightarrow x=m+1-my$. Thay vô PT(2):
$m(m+1-my)+y=3m-1$
$\Leftrightarrow y(1-m^2)+m^2+m=3m-1$
$\Leftrightarrow y(1-m^2)=-m^2+2m-1(*)$
Để hpt có nghiệm $(x,y)$ duy nhất thì pt $(*)$ cũng phải có nghiệm $y$ duy nhất
Điều này xảy ra khi $1-m^2\neq 0\Leftrightarrow m\neq \pm 1$
Khi đó: $y=\frac{-m^2+2m-1}{1-m^2}=\frac{-(m-1)^2}{-(m-1)(m+1)}=\frac{m-1}{m+1}$
$x=m+1-my=m+1-\frac{m(m-1)}{m+1}=\frac{3m+1}{m+1}$
Có:
$x+y=\frac{m-1}{m+1}+\frac{3m+1}{m+1}=\frac{4m}{m+1}<0$
$\Leftrightarrow -1< m< 0$
Kết hợp với đk $m\neq \pm 1$ suy ra $-1< m< 0$ thì thỏa đề.
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\)(m là tham số)
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x+y<0