1.

Ta có:

\(xy\left(x^2+y^2\right)=\dfrac{1}{2}\cdot2xy\left(x^2+y^2\right)\le\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(x^2+2xy+y^2\right)^2}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(x+y\right)^4}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2^4}{4}=2\)

\(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{2^2}{4}=1\)

\(\Rightarrow VT\le2\cdot1=2\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử $x+y+z+t$ là số nguyên tố. Vì $x,y,z,t$ nguyên dương nên $x+y+z+t\geq 4$. Do đó nó là snt lẻ.

$\Rightarrow x+z$ và $y+t$ phải khác tính chẵn lẻ.

Không mất tính tổng quát, giả sử $x+z$ chẵn và $y+t$ lẻ. Khi đó:

$x^2+z^2=(x+z)^2-2xz$ chẵn

$y^2+t^2=(y+t)^2-2yt$ lẻ

Do đó $x^2+z^2$ không thể bằng $y^2+t^2$ (trái với giả thiết)

Vậy $x+y+z+t$ là hợp số.

hmm...

\(x^2+z^2=y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2=2\left(y^2+z^2\right)\)

Do đó \(x^2+y^2+z^2+t^2⋮2\) (1)

Lại có: \(x^2-x⋮2;y^2-y⋮2;z^2-z⋮2;t^2-t⋮2\)

\(\Rightarrow x^2-x+y^2-y+z^2-z+t^2-t⋮2\)

Hay \(\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)-\left(x+y+z+t\right)⋮2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x+y+z+t⋮2\)

Mà \(x,y,z,t\) đều là các số dương nên \(x+y+z+t>2\) => \(x+y+z+t\) là hợp số.

Lời giải:
Vì $x,y$ là các số dương nên

\(\left\{\begin{matrix} x-y=x^3+y^3>x^3-y^3\\ x-y=x^3+y^3>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)> (x-y)(x^2+xy+y^2)\\ x-y>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2+xy+y^2< 1\)

Mà \(x^2+xy+y^2>x^2+y^2, \forall x,y>0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2< 1\)

Ta có đpcm.

\(Q=x^2+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x}+y^2+\frac{1}{8y}+\frac{1}{8y}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

\(Q\ge3\sqrt[3]{\frac{x^2}{8x.8x}}+3\sqrt[3]{\frac{y^2}{8y.8y}}+\frac{3}{4}.\frac{4}{x+y}\)

\(Q\ge\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{x+y}\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{1}=\frac{9}{2}\)

\(Q_{min}=\frac{9}{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Đề là \(Q=x^2+\frac{1}{x}+y^2+\frac{1}{y}\) hay \(\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}\) bạn?

Đáp án C

Ta có

Khi đó

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là  3 + 2 2

xy +yz +xz = xyz

suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) ( chia 2 vế cho xyz )

\(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) ( BĐT cô si )

min P = 1 khi x = y= z =1

b)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ta có:

\(\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:

\(\dfrac{y}{y+1}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}\right);\dfrac{z}{z+1}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{y+z}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(P\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+x}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot3=\dfrac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

a, Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{ba}}=2\)

Dấu " = " khi a = b = 1

Vậy...