20.

$A=(x+5)^2-(x-5)^2+(x+2)(x-2)-x^2+21$$=(x^2+10x+25)-(x^2-10x+25)+(x^2-4)-x^2+21$$=20x+17$

$\Rightarrow a=20,\ b=17$

$M=4a-5b$$=4\cdot20-5\cdot17$$=80-85$$=-5$

Vậy $M=-5$

21.

$A=(x+5)^2+(x-5)^2-2x^2+(x+3)(x-3)-x^2+59$$=(x^2+10x+25)+(x^2-10x+25)-2x^2+(x^2-9)-x^2+59$$=50-9+59$$=100$

$A=100$

$P=x^2-4x+4=(x-2)^2$

a) $P=(x-2)^2$ : Đúng.

b) $P=(x-2)^2\ge0,\ \forall x$ : Đúng.

c) Khi $x=2$,

$P=(2-2)^2=0$ : Đúng.

d) Vì $P=(x-2)^2\ge0$ nên giá trị nhỏ nhất của $P$ là $0$, không phải $-4$ : Sai.

c)

$F=4x-x^2+1$

$=-(x^2-4x)+1$

$=-(x-2)^2+5$

$\Rightarrow F\le 5$

Dấu bằng khi $x=2$. $F_{\max}=5$

d)

$G=-x^2-y^2-4y+6x-10$

$=-(x^2-6x)-(y^2+4y)-10$

$=-(x-3)^2+9-(y+2)^2+4-10$

$=-(x-3)^2-(y+2)^2+3$

$\Rightarrow G\le 3$

Dấu bằng khi $x=3,\ y=-2$.

$G_{\max}=3$

a)

$D=-x^2+6x-11$

$=-(x^2-6x+9)-2$

$=-(x-3)^2-2$

$\Rightarrow D\le -2$

Dấu bằng khi $x=3$.

$D_{\max}=-2$

b)

$E=5-8x-x^2$

$=-(x^2+8x)+5$

$=-(x+4)^2+21$

$\Rightarrow E\le 21$

Dấu bằng khi $x=-4$. $E_{\max}=21$

C = x^2 - 6x + 11

C = (x^2 - 6x + 9) + 2

C = (x - 3)^2 + 2

Ta có: (x - 3)^2 ≥ 0 ∀ x

(x - 3)^2 + 2 ≥ 2

GTNN của C là 2

Dấu "=" xảy ra khi x - 3 = 0 => x = 3

b) B = x^2 - 4x + y^2 - 8y + 6

B = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 8y - 16) + 6 - 4 - 16

B = (x - 2)^2 + (y - 4)^2 - 14

Vì \(\begin{cases}\left(x-2\right)^2\ge0\\ \left(y-4\right)^2\ge0\end{cases}\forall x,y\)

=> B ≥ -14

GTNN của B là -14

Dấu "=" xảy ra khi\(\begin{cases}x-2=0\Rightarrow x=2\\ y-4=0\Rightarrow y=4\end{cases}\)

c) D = (x - 1)(x + 2)( x + 3)(x + 6)

D = [(x - 1)(x + 6)][(x + 2)(x + 3)]

D = (x^2 + 5x - 6)(x^2 + 5x + 6)

Đặt t = x^2 + 5x.

=> D = (t - 6)(t + 6) = t^2 - 36

Ta có t^2 ≥ 0 ∀ t

t^2 - 36 ≥ - 36

GTNN của D là -36

Dấu "=" xảy ra khi t = 0 => x^2 + 5x = 0 => x(x + 5) = 0 =>\(\begin{cases}x=0\\ x+5=0\Rightarrow-5\end{cases}\)

d) G = x^2 - 4xy + 5y^2 + 10x - 22y + 28

G = x^2 - 2x(2y - 5) + 5y^2 - 22y + 28

G = [x^2 - 2x(2y - 5) + (2y - 5)^2] - (2y - 5)^2 + 5y^2 - 22y + 28

G = (x - 2y + 5)^2 + y^2 - 2y + 3

G = (x - 2y + 5)^2 + (y^2 - 2y + 1) + 2

G = (x - 2y + 5)^2 + (y - 1)^2 + 2

Vì \(\begin{cases}\left(x-2y+5\right)^2\ge0\\ \left(y-1\right)^2\ge0\end{cases}\forall x,y\)

(x - 2y + 5)^2 + (y - 1)^2 + 2 ≥ 2

GTNN của G là 2

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}y-1=0\\ x-2y+5=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=1\\ x-2\left(1\right)+5=0x\Rightarrow x=-3\end{cases}\)

a)

$A=(2x+3)(4x^2-6x+9)-2(4x^3-1)$$=(2x)^3+3^3-8x^3+2$

=$\qquad \left[(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\right]$

$=8x^3+27-8x^3+2$$=29$

Vậy $A=29$

b)

$B=\dfrac{(x+5)^2+(x-5)^2}{x^2+25}$

$=\dfrac{x^2+10x+25+x^2-10x+25}{x^2+25}$

$=\dfrac{2x^2+50}{x^2+25}$$=\dfrac{2(x^2+25)}{x^2+25}$$=2$

Vậy $B=2$

c)

$C=2(x^3+y^3)-3(x^2+y^2),\quad x+y=1$

$=2\left[(x+y)^3-3xy(x+y)\right]-3\left[(x+y)^2-2xy\right]$

$=2(1-3xy)-3(1-2xy)$$=2-6xy-3+6xy$$=-1$

Vậy $C=-1$

a)

$A=(2x+3)(4x^2-6x+9)-2(4x^3-1)$

$=(2x)^3+3^3-8x^3+2$

=$\qquad\left[(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\right]$$=8x^3+27-8x^3+2$$=29$

Vậy $A$ không phụ thuộc vào $x$.

b)

$B=\dfrac{(x+5)^2+(x-5)^2}{x^2+25}$

$=\dfrac{x^2+10x+25+x^2-10x+25}{x^2+25}$

$=\dfrac{2x^2+50}{x^2+25}$

$=\dfrac{2(x^2+25)}{x^2+25}$

$=2$

Vậy $B$ không phụ thuộc vào $x$.

c)

$C=2(x^3+y^3)-3(x^2+y^2),\quad x+y=1$

$=2\big[(x+y)^3-3xy(x+y)\big]-3\big[(x+y)^2-2xy\big]$

$=2(1-3xy)-3(1-2xy)$

$=2-6xy-3+6xy$

$=-1$

Vậy $C$ không phụ thuộc vào $x,y$.

Chứng minh A,I,E thẳng hàng:
Đặt O(0;0), bán kính R = 1, A(-1;0), B(1;0), nửa đường tròn có phương trình x^2 + y^2 = 1.
Gọi C(a;b) thuộc nửa đường tròn, b > 0, nên a^2 + b^2 = 1.
Tiếp tuyến tại C có phương trình ax + by = 1.
Vì E thuộc tiếp tuyến tại C và thuộc By nên E có hoành độ 1.
Thay x = 1 vào ax + by = 1, ta được:
a + byE = 1
yE = (1 - a)/b
Suy ra E(1;(1 - a)/b).
Vì CH vuông góc AB nên H(a;0).
Theo phần trước đã chứng minh I là trung điểm CH nên:
I(a;b/2).
Ta xét đường thẳng AE:
Hệ số góc AE = [(1 - a)/b - 0]/[1 - (-1)] = (1 - a)/(2b).
Hệ số góc AI = [b/2 - 0]/[a - (-1)] = b/[2(a + 1)].
Vì a^2 + b^2 = 1 nên b^2 = 1 - a^2 = (1 - a)(1 + a).
Do đó:
b/[2(a + 1)] = (1 - a)/(2b).
Suy ra hệ số góc AI = hệ số góc AE.
Vậy A,I,E thẳng hàng.