\(\Delta=4m^2-4m+1-4\left(2m-2\right)=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2\ge0\)

Do đó pt luôn có nghiệm

Theo định lí Vi-ét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(A=\left(2m-1\right)^2-2\left(2m-2\right)\)           

\(A=4m^2-4m+1-4m+4\)

\(A=4m^2-8m+5\)

\(A=4\left(m-1\right)^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) m=1

Tick hộ nha 😘

pt có nghiệm \(< =>\Delta\ge0\)

\(< =>[-\left(2m-1\right)]^2-4\left(2m-2\right)\ge0\)

\(< =>4m^2-4m+1-8m+8\ge0\)

\(< =>4m^2-12m+9\ge0\)

\(< =>4\left(m^2-3m+\dfrac{9}{4}\right)\ge0\)

\(=>m^2-2.\dfrac{3}{2}m+\dfrac{9}{4}\ge0< =>\left(m-\dfrac{2}{3}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

=>pt luôn có 2 nghiệm 

theo vi ét \(=>\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m-1\\x1x2=2m-2\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(x1+x2\right)^2-2x1x2=\left(2m-1\right)^2-2\left(2m-2\right)\)

\(A=4m^2-4m+1-4m+4=4m^2+5\ge5\)

dấu"=" xảy ra<=>m=0

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(2m-2\right)=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2\ge0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(A=\left(2m-1\right)^2-2\left(2m-2\right)\)

\(A=4m^2-8m+5=4\left(m-1\right)^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\)

\(a=1;b=-2\left(2m+1\right);c=4m^2+4m;b'=\dfrac{b}{2}=-\left(2m+1\right)\)

\(\Delta'=b'^2-ac=\left[-\left(2m+1\right)\right]^2-1.\left(4m^2+4m\right)\\ =4m^2+4m+1-4m^2-4m\\ =1>0\)

\(\Leftrightarrow\Delta'>0\) mà \(a=1\ne0\left(luônđúng\right)\)

=> pt luôn có 2 no pb x1;x2

ad đl viet có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(2m+1\right)=4m+2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=4m^2+4m\end{matrix}\right.\)

ta có: \(\left|x_1-x_2\right|=x_1+x_2\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2\\ \Leftrightarrow\left(4m+2\right)^2-4\left(4m^2+4m\right)=\left(4m+2\right)^2\\ \Leftrightarrow-4\left(4m^2+4m\right)=0\\ \Leftrightarrow4m\left(m+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(tm\right)\\m=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Thảo luận 1

đầu tiên cho denta > 0 để có 2 nghiệm đã ta thấy denta'=m^2+(m-1)^2 luôn luôn duơng nên có 2 no theo Viet ta có S= x1+x2=-b/a=2(m+1) P=x1.x2=c/a=4m-m^2 Theo GT A=/x1-x2/ min tuơng đuơng A^2=(x1-x2)^2 min=(x1+x2)^2-4x1.x2 ráp tổng tích vào, làm gọn ta có A^2= 2(m-1)^2+4m^2 mà 4m^2>=0, mim khi m=0, A^2=2 2(m-1)^2>=0, min khi m=1, A^2=4 Chọn A^2min=2, suy ra Amin= căn 2

Thảo luận 2

A=/x1-x2/ => A^2 = /x1-x2/^2 = (x1-x2)^2 => Amin khi (x1-x2)^2 min = (x1+x2)^2 - 4x1x2 min Ta co: x1 + x2 = 2(m+1) ; x1x2 = 4m-m^2. Thay vao: 4(2m^2 -2m+1) = 8 (m-1/2)^2 + 2 >= 2. A^2 >= 2 A = 0) hay A >= can2. Vậy Amin = can 2

a, \(x^2-4x+3=0\Leftrightarrow x^2-x-3x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=1\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 1 ; 3 } 

b, Ta có : \(\Delta=\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-5\right)=4m^2+8m+4-8m+20=4m^2+24>0\forall m\)

Theo Vi et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m-2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-5\end{cases}}\)

Ta có : \(\left(x_1^2-2mx_1-x_2+2m-3\right)\left(x_2^2-2mx_2-x_1+2m-3\right)=19.1=1.19\)

TH1 : \(\hept{\begin{cases}x_1^2-2mx_1-x_2+2m-3=19\\x_2^2-2mx_2-x_1+2m-3=1\end{cases}}\)

Lấy phương trình (1) + (2) ta được : 

\(x_1^2+x_2^2-2mx_1-2mx_2-x_2-x_1+4m-6=20\)

mà \(\left(x_1+x_2\right)^2=4m^2+8m+4\Rightarrow x_1^2+x_2^2=4m^2+8m+4-2x_1x_2\)

\(=4m^2+8m+4-2\left(2m-5\right)=4m^2+4m-6\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m-6-2m\left(2m-2\right)-\left(2m-2\right)+4m-6=20\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m-6-4m^2+4m-2m+2+4m-6=20\)

\(\Leftrightarrow10m=30\Leftrightarrow m=3\)tương tự với TH2, nhưng em ko chắc lắm vì dạng này em chưa làm bao giờ 

x=1 và x=3

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Gọi \(x_3;x_4\) là các nghiệm của pt nhận \(\dfrac{1}{x_1};\dfrac{1}{x_2}\) là nghiệm, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\\x_3x_4=\dfrac{1}{x_1}.\dfrac{1}{x_2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\\x_3x_4=\dfrac{1}{x_1x_2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{2m}{m-1}\\x_3x_4=\dfrac{1}{m-1}\end{matrix}\right.\)

Theo định lý Viet đảo, \(x_3;x_4\) là nghiệm của:

\(x^2-\dfrac{2m}{m-1}x+\dfrac{1}{m-1}=0\)

Hoặc là: \(\left(m-1\right)x^2-2mx+1=0\) (với \(m\ne1\))

\(\Delta'=\left(2m+1\right)^2-\left(4m^2+4m\right)=1>0;\forall m\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(2m+1\right)\\x_1x_2=4m^2+4m\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1-x_2\right|=x_1+x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2\ge0\\\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(2m+1\right)\ge0\\-2x_1x_2=2x_1x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge-\dfrac{1}{2}\\x_1x_2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge-\dfrac{1}{2}\\4m^2+4m=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\mm=-1< -\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

áp dụng vi et 
x1+x2=\(\dfrac{-b}{a}=4m+2\)
x1.x2=\(\dfrac{c}{a}=4m^2+4m\)
ta có :
\(|x_1-x_2|=x_1+x_2\)
<->(x1-x2)²=(x1+x2)²
<->(x1+x2)²-4x₁.x₂=(4m+2)²
<->(4m+2)²-4(4m²+4m)=(4m+2)²
<->16m²+4+16m-16m²-16m=16m²+4+16m
<->16m²+16m=0
<->16m(m+1)=0
<->m=0
     m=-1
vậy m =0 và m=-1 thì tm hệ thức trên

Lời giải:
1. 

Khi $m=-1$ thì pt trở thành: $x^2+4x+2=0$

$\Leftrightarrow (x+2)^2=2$

$\Leftrightarrow x+2=\pm \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow x=-2\pm \sqrt{2}$

2.

Ta thấy: $\Delta'=(m-1)^2+2m=m^2+1>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Do đó pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi $m$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=2(m-1)$

$x_1x_2=-2m$

Khi đó:

$x_1^2+x_1-x_2=5-2m=3-2(m-1)=3-x_1-x_2$

$\Leftrightarrow x_1^2+2x_1-3=0$

$\Leftrightarrow (x_1-1)(x_1+3)=0$

$\Leftrightarrow x_1=1$ hoặc $x_1=-3$

Nếu $x_1=1$

$\Leftrightarrow x_2+1=2m-2$ và $x_2=-2m$

$\Rightarrow 2x_2+1=-2$

$\Leftrightarrow x_2=\frac{-3}{2}$

$-2m=x_1x_2=\frac{-3}{2}$

$m=\frac{3}{4}$

-------------

Nếu $x_1=-3$

$\Leftrightarrow x_2-3=2m-2$ và $-3x_2=-2m$

$\Leftrightarrow m=\frac{-3}{4}$

\(\Delta'=m^2-\left(m-1\right)=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0;\forall m\)

Pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2x_2+mx_2-x_2=4\)

\(\Leftrightarrow x_1.x_1x_2+\left(m-1\right)x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)x_1+\left(m-1\right)x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(x_1+x_2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow2m\left(m-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2\end{matrix}\right.\)

d: Ta có: \(\text{Δ}=\left(m+1\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m+3\right)\)

\(=m^2+2m+1-8m-24\)

\(=m^2-6m-23\)

\(=m^2-6m+9-32\)

\(=\left(m-3\right)^2-32\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left(m-3\right)^2>32\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-3>4\sqrt{2}\\m-3< -4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4\sqrt{2}+3\\m< -4\sqrt{2}+3\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1-x_2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1=\dfrac{m+3}{2}\\x_2=x_1-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+3}{4}\\x_2=\dfrac{m+3}{4}-\dfrac{4}{4}=\dfrac{m-1}{4}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m+3\right)\left(m-1\right)}{16}=\dfrac{m+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-1\right)=8\left(m+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=9\end{matrix}\right.\)

a) Xét pt \(x^2-\left(2m-3\right)x+m^2-3m=0\)

Ta có \(\Delta=\left[-\left(2m-3\right)^2\right]-4.1\left(m^2-3m\right)\)\(=4m^2-12m+9-4m^2+12m\)\(=9>0\)

Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Câu b mình nhìn không rõ đề, bạn sửa lại nhé.