Ta có : \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+b^2y^2+2axby\)

\(\Leftrightarrow\left(ay\right)^2-2.ay.bx+\left(bx\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\Leftrightarrow ay-bx=0\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

a) Ta có: \(\left(a+b\right)^2=4ab\)<=> \(a^2+b^2+2ab=4ab\)

                                               <=> \(a^2-2ab+b^2=0\)

                                                <=> \(\left(a-b\right)^2=0\)=> a=b (đpcm)

b) Ta có: \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

<=> \(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2\)

<=> \(a^2y^2+b^2x^2-2axby=0\)

<=>\(\left(ay-bx\right)^2=0\)

<=>ay=bx(đpcm)

Bạn viết đề sai tứ tung luôn :v

Điều cần phải chứng minh:

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax-by\right)^2+\left(ay+bx\right)^2\)

\(VT=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\)

\(VP=\left(ax-by\right)^2+\left(ay+bx\right)^2\)

\(=a^2x^2-2axby+b^2y^2+a^2y^2+2axby+b^2x^2\)

\(=a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2\)

\(VT=VP\rightarrowđpcm\)

a) \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\left(1\right)\)

\(\left(a-b\right)^2+4ab=a^2-2ab+b^2+4ab=a^2-2ab+4ab+b^2=a^2+2ab+b^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => đpcm

b) \(\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2\left(3\right)\)

\(\left(a+b\right)^2-4ab=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2+2ab-4ab+b^2=a^2-2ab+b^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) =>đpcm

c) \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=a^2\left(x^2+y^2\right)+b^2\left(x^2+y^2\right)\)

\(=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\left(5\right)\)

\(\left(ax-by\right)^2+\left(ay+bx\right)^2=a^2x^2-2axby+b^2y^2+a^2y^2+2aybx+b^2x^2\)

\(=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) =>đpcm

a) VP=(a-b)²+4ab

        =a²-2ab+b²+4ab

        =a²+b²+2ab

        =(a+b)²=VT

Vậy (a+b)^2 = (a-b)^2 +4ab

b) VP=(a+b)²-4ab

        =a²+2ab+b²-4ab

        =a²-2ab+b²

        =(a-b)²=VT

Vậy (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab

c)

VP=(ax-by)²+(ay+bx)²

=a²x²-2axby+b²y²+a²y²+2axby+b²x²

=a²x²+b²y²+a²y²+b²x²

=(a²x²+b²x²)+(b²y²+a²y²)

=x².(a²+b²)+y².(a²+b²)

=(a²+b²)(a²+y²)=VT

Vậy ( a^2 + b^2 ).(x^2 +y^2) = (ax - by)^2 +(ay+bx)^2

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)

\(\Leftrightarrow ay=bx\)

\(\Leftrightarrow ay-bx=0\)

( Bất đẳng thức Bu - nhi - a - cốp - xki )

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\)

\(=\left(a^2x^2-2axby+b^2y^2\right)+\left(a^2y^2+2axby+b^2x^2\right)\)

\(=\left(ax-by\right)^2+\left(ay+bx\right)^2\)

Cái này trong SGK nè

BĐVT ta có: 

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\)(1)

BĐVP ta có:

\(\left(ax-by\right)^2+\left(ay+bx\right)^2=a^2x^2+a^2y^2-2abxy+2abxy+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\left(2\right)\)

            Từ (1) và (2) suy ra:( a² + b² ).( x² + y²) = ( ax - by)² + ( ay + bx)²

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

\(\Leftrightarrow ay=bx\)

\(\Leftrightarrow ay-bx=0\)

Ta có đpcm.