cho abc>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=0\)chứng minh rằng \(a^3+2b^3+3c^3\ge\dfrac{6}{7}\)
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 3 2023 lúc 7:49
Cho a, b, c >0 thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh 4(\(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)) - (\(a^3\)+\(b^3\)+\(c^3\))\(\ge\)9
Cho các số a, b, c, thỏa mãn: a + b+ c = \(\dfrac{3}{2}\)
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≥ \(\dfrac{3}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{3}=\dfrac{9}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (4)
Có ai có cách giải khác k ạ ?NhưNhã Doanhchú tuổi gìTrịnh Thị Thúy VânMashiro Shiinalê thị hương giangNguyễn Trúc Maingonhuminh
Lê BùiKien NguyenNguyễn Huy TúAkai HarumaAkai HarumaAce LegonaNguyễn Thanh Hằngsoyeon_Tiểubàng giảiPhương AnHoàng Lê Bảo NgọcVõ Đông Anh TuấnTrần Việt Linh
Đúng 0
Bình luận (5)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky:
\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right).\left(1^2+1^2+1^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\le3.\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3.\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\dfrac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{3}{4}\)
Dấu = xảy ra khi: \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Cho a,b>0 thỏa mãn a + b ≤ \(\dfrac{1}{2}\). Chứng minh rằng a + b + \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{17}{2}\)
Trước tiên, ta chứng minh \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) với \(a,b>0\) (*)
(*) \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\), luôn đúng.
Vậy (*) được chứng minh. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
\(\Rightarrow VT=a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge a+b+\dfrac{4}{a+b}\)
Đặt \(a+b=t\left(0< t\le\dfrac{1}{2}\right)\)thì
\(VT\ge t+\dfrac{4}{t}\) \(=t+\dfrac{1}{4t}+\dfrac{15}{4t}\) (1)
Bây giờ ta sẽ chứng minh \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) với \(a,b>0\) (**)
(**) \(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy (**) được chứng minh. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Do đó từ (1) \(\Rightarrow VT\ge\left(t+\dfrac{1}{4t}\right)+\dfrac{15}{4t}\)
\(\ge2\sqrt{t.\dfrac{1}{4}t}+\dfrac{15}{4.\dfrac{1}{2}}\) (do \(0< t\le\dfrac{1}{2}\))
\(=\dfrac{17}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=a+b=\dfrac{1}{2}\\a=b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{4}\)
Ta có đpcm.
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 +b2 +c2) = a+b+c+3. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a^4+a^2+1}}\)+ \(\dfrac{1}{\sqrt{b^4+b^2+1}}\)+ \(\dfrac{1}{\sqrt{c^4+c^2+1}}\) \(\ge\sqrt{3}\)
mng giúp mình nhé, cảm ơnn
bài 1: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b−2c=0 và a2+b2−ca−cb=0.Chứng minh rằng a = b = c.
bài 2: Giả sử a, b là hai số thực phân biệt thỏa mãn a2+4a=b2+4b=1.
a) Chứng minh rằng a + b = −4.
b) Chứng minh rằng a3 + b3 = −76.
c) Chứng minh rằng a4 + b4 = 322.
Bài 1:
Ta có: a + b - 2c = 0
⇒ a = 2c − b thay vào a2 + b2 + ab - 3c2 = 0 ta có:
(2c − b)2 + b2 + (2c − b).b − 3c2 = 0
⇔ 4c2 − 4bc + b2 + b2 + 2bc − b2 − 3c2 = 0
⇔ b2 − 2bc + c2 = 0
⇔ (b − c)2 = 0
⇔ b − c = 0
⇔ b = c
⇒ a + c − 2c = 0
⇔ a − c = 0
⇔ a = c
⇒ a = b = c
Vậy a = b = c
Đúng 0
Bình luận (1)
Cho a, b, c >0 thỏa mãn a+b+c =3
Chứng minh rằng: ( a/ 1+b^2) + (b/ 1+ c^2) + ( c/ 1+a^2) lớn hơn hoặc bằng 3/2
Áp dụng bđt Cauchy:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự:
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Cộng theo vế: \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho ba số a,b,c khác 0 thỏa mãn a/7 + b/5 + c/3 =0
Chứng minh rằng phương trình ax4 +bx2 + c = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;1)
Cho a,b,c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn:
bc = a2 và b+c= -2|-a|-3
Chứng minh rằng: b,c là 2 số nguyên âm
Cho 3 số a,b,c thỏa mãn: a+b+c=0. Chứng minh rằng: ab+bc+ca nhỏ hơn hoặc bằng 0.
