\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AC}\)

\(\Leftrightarrow4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{AO}\)

\(\Leftrightarrow4\overrightarrow{MO}=2\overrightarrow{OA}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AO}\)

\(\Rightarrow M\) là trung điểm OA

C

Chọn B

A

A

A

c) \(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{BC}\ne\overrightarrow{GA}\)

d) \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GM}\ne\overrightarrow{GM}\)

Câu 1.

I là trung điểm của AM \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}\)

M là trung điểm của BC \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

Câu 2.

Ta có: \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CA}\Leftrightarrow2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\) M là trọng tâm của tam giác ABC.

\(\Rightarrow\) D đúng.

Câu 1:

Theo quy tắc TĐ ta có:

\(\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}\)

Mà \(\overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{AM}}{2}\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\frac{\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}}{2}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{4}\)

Câu 2:

Có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CA}\Rightarrow\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=0\)

Vậy M là trọng tâm tam giác ABC (D)

Câu 3 sai đề, phải là \(\overrightarrow{BC}=m.\overrightarrow{a}+n.\overrightarrow{b}\) ms đúng chứ?

Câu 4 để mai ik, dài lắm :))

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\\\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NC}\\\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MB}\end{matrix}\right.\) 

Bạn xem lại nha, có thể đáp án A hoặc B sẽ có \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\)

1.

Lấy điểm A' đối xứng với A qua Ox \(\Rightarrow A\left(-2;-1\right)\)

M có tọa độ \(M\left(x;0\right)\)

Ta có \(AM+MB=A'M+MB\ge AB=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\)

\(min=41\Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{A'M}=k\overrightarrow{A'B}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2=k.4\\1=k.5\end{matrix}\right.\Rightarrow x=-\dfrac{6}{5}\Rightarrow M\left(-\dfrac{6}{5};0\right)\)

2.

Gọi N là trung điểm BC

\(\overrightarrow{MA}.\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MN}=0\)

\(\Leftrightarrow2MA.MN.cosAMN=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}MA=0\\MN=0\\cosAMN=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}M\equiv A\\M\equiv N\\\widehat{AMN}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M\) thuộc đường tròn đường kính AN

\(\dfrac{MA}{MB}=k\Rightarrow MA=kMB=k\left(AB-AM\right)\Rightarrow MA=\dfrac{k}{k+1}AB\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}=\dfrac{k}{k+1}\overrightarrow{BA}\)

Tương tự: \(\overrightarrow{CN}=\dfrac{k}{k+1}\overrightarrow{CD}\)

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\dfrac{k}{k+1}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\dfrac{k}{k+1}\overrightarrow{CD}\)

\(=\dfrac{k}{k+1}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}\right)+\overrightarrow{AC}+\dfrac{k}{k+1}\overrightarrow{CD}\)

\(=\dfrac{k}{k+1}\overrightarrow{BD}+\dfrac{k}{k+1}\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\right)+\overrightarrow{AC}\)

\(=\dfrac{k}{k+1}\overrightarrow{BD}-\dfrac{k}{k+1}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}\)

\(=\dfrac{k}{k+1}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{k+1}\overrightarrow{AC}\)