1. tìm min của hàm số \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{1-x}\)với 0 < x < 1
2. tìm max của biểu thức \(P=\dfrac{xy\sqrt{z-1}+yz\sqrt{x-2}+zx\sqrt{y-3}}{xyz}\)với x >=2; y>=3; z >=1
1. Cho \(x,y,z>0\), \(x+y\le1\) và \(xyz=1\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{1+4x^2}+\dfrac{1}{1+4y^2}-\sqrt{z+1}\)
2. Cho \(x,y,z>0\), \(xyz=x+y+z\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=xy+yz+zx-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+z^2}\) (dùng phương pháp lượng giác hóa)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Tìm Min \(P=\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\)
\(P\ge\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3z^3}}}{yz}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3x^3}}}{zx}\)
\(P\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy.yz.zx}}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Ta có bất đẳng thức sau \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0.\)
Do đó:
\(P=\sum\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\sum\dfrac{\sqrt{xyz+xy\left(x+y\right)}}{xy}\)
\(=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{yz}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1.$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(P=\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\)
\(\ge\dfrac{\sqrt{3xy}}{xy}+\dfrac{\sqrt{3yz}}{yz}+\dfrac{\sqrt{3zx}}{zx}\)
\(=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)
\(\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}}=3\sqrt{3}\)
\(minP=3\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z\)
Tìm GTNN của biểu thức:
\(A=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{x+z}\)
Biết\(\left\{{}\begin{matrix}x.y.z>0\\\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1\end{matrix}\right.\)
\(A\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=\dfrac{1}{2}\)
\(A_{min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
cho x,y,z>0 và x+y+z=\(\dfrac{3}{2}\)
tìm Min \(P=\dfrac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{\left(x+y\right)^2+1}+\dfrac{\sqrt{y^2+yz+z^2}}{\left(y+z\right)^2+1}+\dfrac{\sqrt{z^2+zx+x^2}}{\left(z+x\right)^2+1}\)
Đề bài sai, biểu thức này ko có min
1. Tìm max
\(M=\dfrac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
2. Cho a,b,c >0 và a+b+c=\(\sqrt{2}\)
Tìm max \(N=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
\(1,yz\sqrt{x-1}=yz\sqrt{\left(x-1\right)\cdot1}\le yz\cdot\dfrac{x-1+1}{2}=\dfrac{xyz}{2}\)
\(zx\sqrt{y-2}=\dfrac{zx\cdot2\sqrt{2\left(y-2\right)}}{2\sqrt{2}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}\\ xy\sqrt{z-3}=\dfrac{xy\cdot2\sqrt{3\left(z-3\right)}}{2\sqrt{3}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow M\le\dfrac{\dfrac{xyz}{2}+\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}+\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}}{xyz}=\dfrac{xyz\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)}{xyz}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\y-2=2\\z-3=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\\z=6\end{matrix}\right.\)
\(2,N^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\\ \Leftrightarrow N^2\le\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\\ \Leftrightarrow N^2\le6\left(a+b+c\right)=6\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow N\le\sqrt{6\sqrt{2}}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
với các số thực dương x,y,z và xyz=1
chứng minh đẳng thức
\(\dfrac{\sqrt{x^3+y^3+1}}{xy}+\dfrac{\sqrt{y^3+z^3+1}}{yz}+\dfrac{\sqrt{z^3+x^3+1}}{zx}\ge3\sqrt{3}\)
\(A=\dfrac{\sqrt{x^3+y^3+1}}{xy}+\dfrac{\sqrt{y^3+z^3+1}}{yz}+\dfrac{\sqrt{z^3+x^3+1}}{zx}\)
\(\dfrac{\sqrt{x^3+y^3+1}}{xy}=\dfrac{\sqrt{x^3+y^3+xyz}}{xy}\ge\dfrac{\sqrt{xy\left(x+y\right)+xyz}}{xy}=\dfrac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}\ge\dfrac{\sqrt{xy.3^3\sqrt{xyz}}}{xy}=\dfrac{\sqrt{3xy}}{xy}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)
\(\dfrac{\sqrt{y^3+z^3+1}}{yz}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\)
\(\dfrac{\sqrt{z^3+x^3+1}}{zx}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy.yz.xz}}}=3\sqrt{3}.\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}}=3\sqrt{3}\)
Cho 3 số thực: x; y; z thỏa mãn: \(x\ge1;y\ge4;z\ge9\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(M=\dfrac{yz.\sqrt{x-1}+zx.\sqrt{y-4}+xy.\sqrt{z-9}}{xyz}\)
tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a A=\(\dfrac{\sqrt{x-9}}{5x}\)
b B=\(\dfrac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
b, đk: \(x\ge1,y\ge2,z\ge3\)
\(=>B=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)
đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=a\\\sqrt{y-2}=b\\\sqrt{z-3}=c\end{matrix}\right.\)\(=>\left\{{}\begin{matrix}x=a^2+1\\y=b^2+1\\z=c^2+1\end{matrix}\right.\)\(=>a\ge0,b\ge0,c\ge0\)
B trở thành \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\)
\(=\dfrac{a^{ }}{a^2+1}+\dfrac{a^2+1}{4}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{b^2+1}{4}+\dfrac{c}{c^2+1}+\dfrac{c^2+1}{4}\)
\(-\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\right)\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}\)\(=0\)
dấu"=" xảy ra<=>\(a=0,b=0,c=0< =>x=1,y=2,z=3\)
Chắc bạn ghi nhầm đề, tìm GTLN mới đúng, chứ GTNN của các biểu thức này đều hiển nhiên bằng 0
\(A=\dfrac{3.\sqrt{x-9}}{15x}\le\dfrac{3^2+x-9}{30x}=\dfrac{1}{30}\)
\(A_{max}=\dfrac{1}{30}\) khi \(x=18\)
\(B=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}=\dfrac{1.\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{y-2}}{\sqrt{2}y}+\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt{z-3}}{\sqrt{3}z}\)
\(B\le\dfrac{1+x-1}{2x}+\dfrac{2+y-2}{2\sqrt{2}y}+\dfrac{3+z-3}{2\sqrt{3}z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;4;6\right)\)
đề bài là tìm gt lớn nhất nhé mọi người,tớ ghi nhầm
a) Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z+xy+yz+zx=6. Tìm Min \(P=x^2+y^2+z^2\)
giải hệ pt : 1) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\dfrac{1}{y}}=2\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\dfrac{1}{x}}=2\end{matrix}\right.\)
2) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\x^4+x^2y^2+y^4=21\end{matrix}\right.\)
1. Với mọi số thực x;y;z ta có:
\(x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(z^2+1\right)\ge xy+yz+zx+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}P+\dfrac{3}{2}\ge6\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
\(P_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)
1.1
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=a>0\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\sqrt{2-b^2}=2\\b+\sqrt{2-a^2}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a-b+\sqrt{2-b^2}-\sqrt{2-a^2}=0\)
\(\Leftrightarrow a-b+\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\sqrt{2-b^2}+\sqrt{2-a^2}}=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào pt đầu:
\(a+\sqrt{2-a^2}=2\Rightarrow\sqrt{2-a^2}=2-a\) (\(a\le2\))
\(\Leftrightarrow2-a^2=4-4a+a^2\Leftrightarrow2a^2-4a+2=0\)
\(\Rightarrow a=1\Rightarrow x=y=1\)
2.
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\x^2-xy+y^2=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2+3xy+3y^2=21\\7x^2-7xy+7y^2=21\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4x^2-10xy+4y^2=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(2x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2x\\y=\dfrac{1}{2}x\end{matrix}\right.\)
Thế vào pt đầu
...