Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).

Vậy ta có đpcm.

\(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6=\left(a^8-a^6b^2\right)+\left(b^8-a^2b^6\right)=a^6\left(a^2-b^2\right)+b^6\left(b^2-a^2\right)=\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\) nên suy ra được như vậy Quỳnh Anh

Biến đổi \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3=3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3=3a^2\left(a-b\right)-3b^2\left(a-b\right)=\left(3a^2-3b^2\right)\left(a-b\right)=3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b>0\).

Từ đó ta có \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)

Với a, b>0 các bn nha

\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3-a^3-ab^2-a^2b-b^3>=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-ab^2-a^2b>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2>=0\)(luôn đúng)

Lời giải:

Sử dụng pp biến đổi tương đương:

a) \(\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{2}\geq \frac{(a+b)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a+b)^2\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a^2+2ab+b^2)\)

\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)\geq 4ab\Leftrightarrow 2(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 2(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xẩy ra khi $a=b$
c)

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\) \(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \frac{(a+b+c)^2}{9}\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

b) \(\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4\)

Áp dụng 2 lần BĐT phần a: \(\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2(1)\)

Và: \(\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\Rightarrow \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)

a)đpcm<=>(a²+3)²>4(a²+2)<=>(a²+1)²>0(lđ)

b)đpcm<=>\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)

Theo AM-GM\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4+b^4+b^4\ge4a^3b\\b^4+a^4+a^4+a^4\ge4b^3a\end{matrix}\right.\)

=>đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a=b

c)AM-GM:\(VT\ge256\left|abcd\right|\ge256abcd\)

Dấu bằng xảy ra khi hai số bằng 2, hai số còn lại bằng -2 hoặc cả 4 số bằng 2 hoặc cả 4 số bằng -2

Câu b search google bđt Min-cốp-xki thẳng tiến

Chị ơi!

Có: \(VT-VP=\frac{\left(b^2+c^2-2a^2\right)^2+\left(b-c\right)^2\left(\Sigma_{cyc}a^2+3\Sigma_{cyc}ab\right)}{2a+b+c}\ge0\)

Done!