PT có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(k-2\right)^2-\left(-2k-5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow k^2-4k+4+2k+10\ge0\\ \Leftrightarrow k^2-2k+14\ge0\\ \Leftrightarrow k\in R\)

Vậy PT luôn có 2 nghiệm

Áp dụng Viét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(k-2\right)\left(1\right)\\x_1x_2=-2k-5\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có \(2x_1-x_2=7\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(3\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(k-2\right)\\2x_1-x_2=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1=2k+3\\x_2=2x_1-7\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2k+3}{2}\\x_2=\dfrac{4k+6}{2}-7=\dfrac{4k-8}{2}=2k-4\end{matrix}\right.\)

Thay vào \(\left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{\left(2k+3\right)\left(2k-4\right)}{2}=-2k-5\)

\(\Leftrightarrow\left(2k+3\right)\left(k-2\right)=-2k-5\\ \Leftrightarrow2k^2-k-6+2k+5=0\\ \Leftrightarrow2k^2+k-1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=\dfrac{1}{2}\\k=-1\end{matrix}\right.\)

a: Thay k=-3 vào pt, ta được:

\(x^2-2\cdot\left(-3+2\right)x+\left(-3\right)^2+2\cdot\left(-3\right)-7=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=5\)

hay \(x\in\left\{\sqrt{5}-1;-\sqrt{5}-1\right\}\)

b: \(\text{Δ}=\left(2k+4\right)^2-4\left(k^2+2k-7\right)\)

\(=4k^2+16k+16-4k^2-8k+28\)

=8k+44

Để phương trình có hai nghiệm thì 8k+44>=0

=>8k>=-44

hay k>=-11/2

Theo đề, ta có: \(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=28\)

\(\Leftrightarrow\left(2k+4\right)^2-3\cdot\left(k^2+2k-7\right)=28\)

\(\Leftrightarrow4k^2+16k+16-3k^2-6k+21=28\)

\(\Leftrightarrow k^2+10k+37-28=0\)

\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)\left(k+9\right)=0\)

=>k=-1

Xét pt :

\(x^2-2\left(k+2\right)x+k^2+2k-7=0\)

\(\Delta'=\left(k+2\right)^2-\left(k^2+2k-7\right)\)

\(=k^2+4k+4-k^2-2k+7\)

\(=2k+11\)

Để phương trình có 2 nghiệm pb \(\Leftrightarrow k>-\dfrac{11}{2}\)

Theo định lí Viet ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(k+2\right)\\x_1.x_2=k^2+2k-7\end{matrix}\right.\)

Ta có :

\(x_1^2+x_2^2=x_1.x_2+28\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2=3x_1.x_2+28\)

\(\Leftrightarrow4\left(k+2\right)^2=3\left(k^2+2k-7\right)+28\)

Tự giải hết pt tìm k nhé :> Buồn ngủ quá ~

\(\text{Δ}=\left(2k+1\right)^2-4\left(k^2+4\right)\)

\(=4k^2+4k+1-4k^2-16=4k-15\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 4k-15>0

=>k>15/4

\(x_1^2+x_2^2=63\)

=>(x1+x2)^2-2x1x2=63

=>(2k+1)^2-2(k^2+4)=63

=>4k^2+4k+1-2k^2-8=63

=>2k^2+4k-7-63=0

=>2k^2+4k-70=0

=>k^2+2k-35=0

=>(k+7)(k-5)=0

=>k=-7(loại) hoặc k=5(nhận)

Ptr có: `\Delta'=[-(m-1)^2]+4m=m^2-2m+1+4m=(m+1)^2 >= 0`

  `=>{(x_1+x_2=[-b]/a=2m-2),(x_1.x_2=c/a=-4m):}`

  Để ptr có ít nhất `1` nghiệm không âm

`<=>2` nghiệm đều `>= 0`, hoặc có duy nhất `1` nghiệm và `>= 0` hoặc `1` nghiệm `>= 0` và `1` nghiệm `< 0`

`@TH1: 2` nghiệm đều `>= 0`

    `=>{(x_1.x_2 >= 0),(x_1+x_2 >= 0):}`

`<=>{(-4m >= 0),(2m-2 >= 0):}`

`<=>{(m <= 0),(m >= 1):}=>` Không có `m` t/m

`@TH2:` Có duy nhất `1` nghiệm và nghiệm đó `>= 0`

    `=>{((m+1)^2=0),(x=[-b']/a):}`

`<=>{(m=-1),(x=m-1):}`

`<=>{(m=-1),(x=-2):}` (ko t/m `x >= 0`)

`@TH3:` Có `2` nghiệm pb có `1` nghiệm `< 0` và `1` nghiệm `>= 0`

  `=>{(m+1 \ne 0),(x_1.x_2 < 0):}`

`<=>{(m \ne -1),(-4m < 0):}`

`<=>{(m \ne -1),(m > 0):}`

`<=>m > 0`

Vậy `m > 0` thì ptr đã cho có ít nhất `1` nghiệm không âm.

\(ac=-m^2-1< 0;\forall m\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-m^2-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=3\)

\(\Leftrightarrow m^2-2\left(-m^2-1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow3m^2=1\)

\(\Leftrightarrow m^2=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

xét delta 

m² + 4m² + 4 = 5m² + 4 > 0 

=> phương trình luôn có 2 nghiệm x1x2

theo Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=m\\x1x2=-m^2-1\end{matrix}\right.\) 

x1² + x2² = 3 

<=> ( x1 +x2 )² - 2x1x2 = 3 

<=> m² + 2m² + 2 = 3 

<=> 3m² = 1 

=> m² = \(\dfrac{1}{3}\)

=> m = +- \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

x1+x2=2m+2; x1x2=m^2+4

x1^2+2(m+1)x2<=2m^2+20

=>x1^2+x2(x1+x2)<=2m^2+20

=>x1^2+x2x1+x2^2<=2m^2+20

=>(x1+x2)^2-x1x2<=2m^2+20

=>(2m+2)^2-(m^2+4)<=2m^2+20

=>4m^2+8m+4-m^2-4-2m^2-20<=0

=>m^2-8m-20<=0

=>m<=-10 hoặc m>2

\(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+4=0\left(1\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0\) hay \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2-4=m^2+2m+1-m^2-4=2m-4>0\Leftrightarrow m>2\)

Theo hệ thức Viét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1.x_2=m^2+4\end{matrix}\right.\)

Vì \(x_1^2\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có : \(x_1^2-2\left(m+1\right)x+m^2+4=0\Leftrightarrow x_1^2=2\left(m+1\right)x_1-m^2-4\)

Ta lại có : \(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)x_1-m^2-4+2\left(m+1\right)x_2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)\left(x_1+x_2\right)-m^2-4\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-m^2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2+2m+1\right)-m^2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow m^2+8m-16\le0\)

\(\Leftrightarrow-10\le m\le2\)

Kết hợp điều kiện....

Ta có:

\(\text{∆}'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+m\right)\)

\(=m^2+2m+1-\left(m^2+m\right)=m+1\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

\(\Leftrightarrow\text{∆}'>0\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1.x_2=m^2+m\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x^2_2}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x^2_2}{x_1^2.x_2^2}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow8[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2]=x_1^2.x_2^2\)

\(\Leftrightarrow8[[2\left(m+1\right)]^2-2\left(m^2+m\right)]=\left(m^2+m\right)^2\)

\(\Leftrightarrow8\left[4m^2+8m+4-2m^2-2m\right]=m^4+2m^3+m^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(8\left[2m^2+6m+4\right]=m^4+2m^3+m^2\)

\(\Leftrightarrow m^4+2m^3-15m^2-48m-32=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m^3+m^2-16m-32\right)=0\)

Vì m>-1

\(\Leftrightarrow m^3+m^2-16m-32=0\)

Đến đây nghiêm xấu bạn xem lại đề hoặc có thể sử dụng CTN Cardano