Cho a,b,c là cạnh của nửa tam giác, p là nửa chu vi. CMR
M= (p-a)(p-b)(p-c) \(\le\)\(\dfrac{1}{8}\)
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh:
\(\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{p^3}{27}\)
Bất đẳng thức cần cm tương đương:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Mặt khác theo bđt AM - GM (Chú ý a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0) ta có:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b-c+b+c-a+c+a-b\right)^3}{27}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Vậy ta có đpcm.
Vì bạn không hiểu nên mình làm lại:
Thay \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) vào bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
\(\left(\dfrac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\dfrac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\dfrac{a+b+c}{2}-c\right)\le\dfrac{\left(\dfrac{a+b+c}{2}\right)^3}{27}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}{8}\le\dfrac{\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{8}}{27}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Đến đây bạn làm tiếp như lúc nãy.
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác, p là nửa chu vi, cmr:
\(\dfrac{a}{p-a} + \dfrac{b}{p-b} + \dfrac{c}{p-c} >= 6\)
BĐT\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{-a+b+c}+\dfrac{b}{a-b+c}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)
Áp dụng BĐT Svac-xơ, ta có:
\(\dfrac{a^2}{-a^2+ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab-b^2+bc}+\dfrac{c^2}{ac+bc-c^2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Ta có: \(a,b,c\) là 3 cạnh của 1 tam giác nên:
\(a\left(b+c\right)>a^2\). Tương tự và cộng theo vế, ta có:
\(2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)>0\)
Ta sẽ chứng minh \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge3\left(1\right)\)
Thật vậy, \(BĐT\left(1\right)\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a+b+c\right)^2\ge6\left(ab+bc+ca\right)\), đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Cách 2:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}-a+b+c=x\\a-b+c=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\) với \(x,y,z>0\)
Khi đó ta có \(a=\dfrac{y+z}{2};b=\dfrac{x+z}{2};c=\dfrac{x+y}{2}\)
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}\ge6\), đúng theo bđt Cauchy
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)
Cho a,b,c là độ dài cạnh tam giác và p là nửa chu vi
CM:\(\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\frac{1}{8}abc\)
cho tam giác ABC có 3 cạnh là a,b,c . p là nửa chu vi của tam giác. cmr:
\(\sqrt{p}< \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\)
Ta biến đổi tương đương : \(\left(1\right)\Leftrightarrow p< \left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow p< 3p-\left(a+b+c\right)+2\sqrt{p-a}.\sqrt{p-b}+2\sqrt{p-b}.\sqrt{p-c}+2\sqrt{p-c}.\sqrt{p-a}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{p-a}.\sqrt{p-b}+\sqrt{p-b}.\sqrt{p-c}+\sqrt{p-c}.\sqrt{p-a}>0\) (luôn đúng)
Chứng minh \(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\)Áp dụng bđt Bunhiacopxki, ta có \(\left(1.\sqrt{p-a}+1.\sqrt{p-b}+1.\sqrt{p-c}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(3p-a-b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)^2\le3p\Rightarrow\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác ABC là tam giác đều
Cho a, b, c là ba cạnh tam giác, gọi p là nửa chu vi. CMR:
\(2p\le\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\\\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\\\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\end{cases}}\) :)))
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh:
\(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\)
Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác, gọi P là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
\(\left(P-a\right)\left(P-b\right)\left(P-c\right)\le\dfrac{1}{8}abc\)
Do a,b,c là ba cạnh của tam giác nên a,b,c >0
Với x,y\(\ge\)0, ta có:
\(\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\)(CO-si)
=>\(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Áp dụng ba lần , ta có:
Lần 1: \(\left(P-a\right)\left(P-b\right)\le\dfrac{\left(P-a+P-b\right)^2}{4}\)(khi a=b)
<=>\(\left(P-a\right)\left(P-b\right)\le\dfrac{c^2}{4}\)(1)
Lần 2: \(\left(P-b\right)\left(P-c\right)\le\dfrac{\left(P-b+P-c\right)^2}{4}\)(b=c)
<=>\(\left(P-b\right)\left(P-c\right)\le\dfrac{a^2}{4}\)(2)
Lần 3: \(\left(P-a\right)\left(P-c\right)\le\dfrac{\left(P-a+P-c\right)^2}{4}\)(a=c)
<=>\(\left(P-a\right)\left(P-c\right)\le\dfrac{b^2}{4}\)(3)
Lấy (1) nhân (2) nhân (3), ta có:
\(\left[\left(P-a\right)\left(P-b\right)\left(P-c\right)\right]^2\le\left(\dfrac{abc}{8}\right)^2\)
<=>\(\left(P-a\right)\left(P-b\right)\left(P-c\right)\le\dfrac{1}{8}abc\)(khi a=b=c)
Cho a ; b; c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác . P là nửa chu vi của tam giác đó . CMR :
( p - a )( p - b )( p - c ) <= 1/8abc
\(\Leftrightarrow2\left(p-a\right).2\left(p-b\right).2\left(p-c\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(2p-2a\right)\left(2p-2b\right)\left(2p-2c\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)
Đặt \(a+b-c=x;\text{ }b+c-a=y;\text{ }c+a-b=z\)
Thì \(a=\frac{x+z}{2};\text{ }b=\frac{y+x}{2};\text{ }c=\frac{z+y}{2}\)
Nên cần chứng minh:
\(xyz\le\frac{1}{8}\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Điều này là hiển nhiên khi ta áp dụng bđt Côsi cho VP.
Vậy ta có đpcm.
-Giúp với ạ.
Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi.
CMR: \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge2.\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Ta có :
\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{p-a+p-b}=\dfrac{2}{c}\)
\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{p-a+p-c}=\dfrac{2}{a}\)
\(\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-a}\ge\dfrac{4}{p-c+p-a}=\dfrac{2}{b}\)
Cộng từng về ta có đpcm
Ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{p-a+p-b}=\dfrac{4}{2p-a-b}\)
Mà \(2p=a+b+c\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{a+b+c-a-b}=\dfrac{4}{c}\)
Tương tự \(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
bạn chứng minh :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ( chứng minh tương tự )
ta có: \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{p-a+p-b}=\dfrac{4}{2p-a-b}\)
mặt khác : \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow2p=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{a+b+c-a-b}=\dfrac{4}{c}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{a}\left(2\right)\)
\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{b}\left(3\right)\)
Cộng từng vế (1),(2),(3), ta có:
\(2\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge2\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(đpcm\right)\)
Xét tam giác ABC có độ dài các cạnh đối diện 3 góc A,B,C là a,b,c. CMR
\(r_a=\dfrac{2S}{b+c-a}=p.tan\dfrac{A}{2}\) với ra là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A , p là nửa chu vi, S là diện tích của tam giác ABC