Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Tuấn Hoàng

-Giúp với ạ.

Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi.

CMR: \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge2.\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
 

Đào Tùng Dương
8 tháng 2 2022 lúc 21:41

Ta có :

\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{p-a+p-b}=\dfrac{2}{c}\)

\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{p-a+p-c}=\dfrac{2}{a}\)

\(\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-a}\ge\dfrac{4}{p-c+p-a}=\dfrac{2}{b}\)

Cộng từng về ta có đpcm

Lấp La Lấp Lánh
8 tháng 2 2022 lúc 21:41

Ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

Áp dụng:

\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{p-a+p-b}=\dfrac{4}{2p-a-b}\)

Mà \(2p=a+b+c\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{a+b+c-a-b}=\dfrac{4}{c}\)

Tương tự \(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Nguyễn Ngọc Huy Toàn
8 tháng 2 2022 lúc 21:44

bạn chứng minh :

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ( chứng minh tương tự )

ta có: \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{p-a+p-b}=\dfrac{4}{2p-a-b}\)

mặt khác : \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow2p=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{a+b+c-a-b}=\dfrac{4}{c}\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{a}\left(2\right)\)

\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{b}\left(3\right)\)

Cộng từng vế (1),(2),(3), ta có:

\(2\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge2\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(đpcm\right)\)

Uyên  Thy
8 tháng 2 2022 lúc 22:00


Các câu hỏi tương tự
Lê Vũ Anh Thư
Xem chi tiết
Lê Huy Hoàng
Xem chi tiết
Đinh Trí Gia BInhf
Xem chi tiết
nguyễn thanh huyền
Xem chi tiết
tnt
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Anh
Xem chi tiết
Vô danh
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Như Minh
Xem chi tiết
Đặng Thị Trà My
Xem chi tiết