Cho cặp (x,y) thỏa mãn các điều kiện \(-1\le x+y\le1\)
và\(-1\le xy+x+y\le1\)
Chứng minh rằng \(|x|\le2;|y|\le2\)
Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và \(-1\le x\le1,-1\le y\le1,-1\le z\le1\)
Chứng minh rằng đa thức \(x^2+y^4+z^6\le2\)
vì trong 3 số x,y,z có ít nhất là 2 số cùng dấu
giả sử \(x,y\le0\)\(\Rightarrow z=-\left(x+y\right)\ge0\)
Mà \(-1\le x,y,z\le1\)nên \(x^2\le\left|x\right|;y^4\le\left|y\right|;z^6\le\left|z\right|\)
\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|=-x-y+z=-\left(x+y\right)+z=2z\le2\)
Dấu " = " xảy ra chẳng hạn x = 0 ; y = -1; z = 1
Cho các số x,y,z thỏa mãn \(0\le x,y,z\le1\). Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}\le2\)
\(0\le x,y,z\le1\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y\)
Tương tự:
\(yz+1\ge y+z;zx+1\ge z+x\)
Khi đó
\(LHS\le\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\le\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=2\)
Không chắc nha !
cho 2 số dương x;y thỏa mãn điều kiện: \(x+y\le1\)
chứng minh: \(x^2-\dfrac{3}{4x}-\dfrac{x}{y}\le\dfrac{-9}{4}\)
Ta có \(x+y\le1\Leftrightarrow1-x\ge y>0\Leftrightarrow0< x< 1\)
Giả sử \(x^2-\dfrac{3}{4x}-\dfrac{x}{y}\le-\dfrac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x^2+9\le\dfrac{3}{x}+\dfrac{4x}{y}\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x}{1-x}+\dfrac{3}{x}\ge4x^2+9\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x^2+3\left(1-x\right)-x\left(4x^2+9\right)\left(1-x\right)}{x\left(1-x\right)}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x^4-4x^3+13x^2-12x+3}{x\left(1-x\right)}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+3\right)\left(2x-1\right)^2}{x\left(1-x\right)}\ge0\)
Vì \(x>0;1-x>0\) nên BĐT trên luôn đúng
Vậy ta được đpcm
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Cho \(x;y;z\) là 3 số thực tùy ý thỏa mãn \(x+y+z=0\) và \(-1\le x\le1\) ;\(-1\le y\le1\) và \(-1\le z\le1\) chứng minh rằng \(x^2+y^4+z^6\le2\)
Từ điều kiện đề bài ta có:
\(x^2,y^2,z^2\le1\)
Trong 3 số x, y, z có 2 số cùng dấu: Giả sử là x,y (các trường hợp khác làm tương tự)
\(\Rightarrow xy\ge0\)
Ta có:
\(x^2+y^4+z^6\le x^2+y^2+z^2\le z^2+\left(x^2+2xy+y^2\right)=2z^2\le2\)
Bài 1 :Cho 2 số dương x,y thỏa mãn điều kiện \(x+y\le1\). Chứng minh\(x^2-\frac{3}{4x}-\frac{x}{y}\le\frac{-9}{4}\)
Bài 2 : Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa mãn điều kiện x+y\(\ge1\)và x>0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=y^2+\frac{8x^2+y}{4x}\)
bài 3: cho 3 số dương x,y,z thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\(P=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
Cho x,y,z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn : \(x+y+z=0\) và \(-1\le x\le1;-1\le y\le1;-1\le z\le1\)
CMR : Đa thức : \(x^2+y^4+z^6\le2\)
Do \(x+y+z=0;-1\le x,y,z\le1\)
Suy ra : Trong 3 số x,y,z tồn tại hai số cùng dấu
Giả sử : \(x\ge0;y\ge0;z\le0\)
Từ : \(x+y+z=0\)\(\Rightarrow z=-x-y\)
\(x^2+y^4+z^6\le\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|=x+y-z=-2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le-2z\le2\)
Vậy : \(x^2+y^4+z^6\le2\)
\(1.\)Cho \(x,y,z\)là ba số thực thỏa mãn \(x+y+z=0\)và \(-1\le x\le1;-1\le y\le1;-1\le z\le1\)
\(CMR:x^2+y^4+z^6\le2\)
Ai giải trước mk mỗi ngày 3 cái . k hết 7 ngày nha
vào câu hỏi tương tự có lẽ sẽ gợi cho bn ý tưởng để làm bài này đó
chúc học tốt !
TH1: Để x+y+z=0 là 3 số thực thoả mãn thì ta có các chữ số lớn nhất có thể cộng lại bằng 0 là -1,1,0
Tá có các số mũ theo đề bài yêu cầu đều là các số chẵn do đó -1 ứng với các số mũ trên đều có kết quả bằng 1 (1)
Đối với 1 khi ứng với các số mũ trên tất nhiên kết quả cuối cùng = 1 (2)
Đối với 0 khi ứng với các số mũ trên tất nhiên kết quả cuối cùng = 0 (3)
Từ(1),(2),(3) => ta có theo yêu cầu của từng trường hợp x,y,z ta có kết quả cuối cùng = 2 (hợp lệ)
TH2: x,y,z đều bằng 0
Đối với 0 khi ứng với các số mũ trên tất nhiên kết quả cuối cùng = 0
=>Ta có tất nhiên kết quả cuối cùng bằng 0 (hợp lệ)
Từ cả hai trường hợp đều có kết quả < 2 thoả mãn điều cân phải chứng minh => x2 + y4+ z6 < 2
#HỌCTỐT
&YOUTUBER&
Cho \(x,y,z\inℝ\) tùy ý thỏa mãn : \(x+y+z=0\) và : \(-1\le x\le1;-1\le y\le1;-1\le z\le1\)
CMR : Đa thức : \(x^2+y^4+z^6\le2\)
cho ba số dương \(0\le x\le y\le z\le1\) chứng minh \(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2\)
Lời giải:
Vì $0\leq x\leq y\leq z\leq 1\Rightarrow 0\leq xy\leq xz\leq yz$
$\Rightarrow \frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\leq \frac{x+y+z}{xy+1}(1)$
Xét $\frac{x+y+z}{xy+1}-2=\frac{x+y+z-2xy-2}{xy+1}=\frac{(x-1)(1-y)+(z-xy-1)}{xy+1}\leq 0$ do $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$)
$\Rightarrow \frac{x+y+z}{xy+1}\leq 2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\leq 2$ (đpcm)
Lời giải:
Vì 0≤x≤y≤z≤1⇒0≤xy≤xz≤yz0≤x≤y≤z≤1⇒0≤xy≤xz≤yz
⇒xyz+1+yxz+1+zxy+1≤x+y+zxy+1(1)⇒xyz+1+yxz+1+zxy+1≤x+y+zxy+1(1)
Xét x+y+zxy+1−2=x+y+z−2xy−2xy+1=(x−1)(1−y)+(z−xy−1)xy+1≤0x+y+zxy+1−2=x+y+z−2xy−2xy+1=(x−1)(1−y)+(z−xy−1)xy+1≤0 do 0≤x≤y≤z≤10≤x≤y≤z≤1)
⇒x+y+zxy+1≤2(2)⇒x+y+zxy+1≤2(2)
Từ (1);(2)⇒xyz+1+yxz+1+zxy+1≤2(1);(2)⇒xyz+1+yxz+1+zxy+1≤2 (đpcm)