Question

cho 2 số dương x;y thỏa mãn điều kiện: \(x+y\le1\)

chứng minh: \(x^2-\dfrac{3}{4x}-\dfrac{x}{y}\le\dfrac{-9}{4}\)

Answer 1

Ta có \(x+y\le1\Leftrightarrow1-x\ge y>0\Leftrightarrow0< x< 1\)

Giả sử \(x^2-\dfrac{3}{4x}-\dfrac{x}{y}\le-\dfrac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow4x^2+9\le\dfrac{3}{x}+\dfrac{4x}{y}\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x}{1-x}+\dfrac{3}{x}\ge4x^2+9\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x^2+3\left(1-x\right)-x\left(4x^2+9\right)\left(1-x\right)}{x\left(1-x\right)}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x^4-4x^3+13x^2-12x+3}{x\left(1-x\right)}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+3\right)\left(2x-1\right)^2}{x\left(1-x\right)}\ge0\)

Vì \(x>0;1-x>0\) nên BĐT trên luôn đúng

Vậy ta được đpcm

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)