\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\Rightarrow\frac{x+y+z}{xyz}=3\Leftrightarrow x+y+z=3xyz\Rightarrow\text{điều cần c/m}\Leftrightarrow x+y+z=0\left(\text{vô lí}\right)\)

Ta có bất đẳng thức phụ sau

\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)  với mọi  \(x,\)  \(y,\)  \(z\)

\(\Leftrightarrow\)  \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow\)  \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)+x^2+y^2+z^2\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow\)  \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)  \(\left(\text{*}\right)\)

Vì  \(x+y+z=1\)  (theo giả thiết) nên từ  \(\left(\text{*}\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)  (đpcm)

troll nhau v

\(\frac{x+1}{y^2+1}=\frac{\left(x+1\right)\left(y^2+1\right)-y^2\left(x+1\right)}{y^2+1}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{y^2+1}\ge x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{2y}=x+1-\frac{1}{2}\left(xy+y\right)\)

Thiết lập tương tự và cộng lại ta được:

\(VT\ge x+y+z+3-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx+x+y+z\right)\)

\(VT\ge6-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx+3\right)=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\)

\(VT\ge\frac{9}{2}-\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\frac{9}{2}-\frac{9}{6}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Ta có: \(\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}=\dfrac{x^4}{xy+2zx}+\dfrac{y^4}{yz+2xy}+\dfrac{z^4}{zx+2yz}\)

\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+2zx+yz+2xy+zx+2yz}=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\)

Mà ta lại có: \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)

 \(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1^2}{3.1}=\dfrac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Câu hỏi của Thu Hà - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2

⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2

⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=12=1⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=12=1

⇒x2+y2+z2≥13⇒x2+y2+z2≥13

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=13x=y=z=13

b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

(4+1)(4x2+y2)≥(4x+y)2(4+1)(4x2+y2)≥(4x+y)2

⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2

⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2=12=1⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2=12=1

⇒4x2+y2≥15⇒4x2+y2≥15

Đẳng thức xảy ra khi x=y=15x=y=15

Bài 3:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)

\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )

\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)

Bài 4:

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)