Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Thu Hà

1, Với mọi a,b,c tùy ý, chứng minh:

a2 + b2 + 1 \(\ge\) ab + a + b

2, Cho x + y + z = 1

Chứng minh: x2 + y2 + z2 \(\ge\dfrac{1}{3}\)

3, Cho 4x + y = 1

Chứng minh: 4x2 + y2 \(\ge\dfrac{1}{3}\)

Lightning Farron
Lightning Farron 19 tháng 4 2017 lúc 22:05

Bài 1:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

Bài 2:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Bài 3:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(4+1\right)\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow4x^2+y^2\ge\dfrac{1}{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{5}\)

Bình luận (5)
Nguyễn Triệu Khang
Nguyễn Triệu Khang 8 tháng 5 2017 lúc 7:51

tôi không biết

banh

hehe ngoam
oaoa leu
thanghoa ok

Bình luận (2)

Các câu hỏi tương tự
Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN