Question

cho x,y,z là 3 số thực duong thỏa mãn: x+y+z=3

CM: \(\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\)≥3

Answer 1

\(\frac{x+1}{y^2+1}=\frac{\left(x+1\right)\left(y^2+1\right)-y^2\left(x+1\right)}{y^2+1}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{y^2+1}\ge x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{2y}=x+1-\frac{1}{2}\left(xy+y\right)\)

Thiết lập tương tự và cộng lại ta được:

\(VT\ge x+y+z+3-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx+x+y+z\right)\)

\(VT\ge6-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx+3\right)=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\)

\(VT\ge\frac{9}{2}-\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\frac{9}{2}-\frac{9}{6}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)