ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+\dfrac{1}{x+y}+x-y+\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{16}{3}\\\left(x+y\right)^2+\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}+\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}=\dfrac{100}{9}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+\dfrac{1}{x+y}+x-y+\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{16}{3}\\\left(x+y+\dfrac{1}{x+y}\right)^2+\left(x-y+\dfrac{1}{x-y}\right)^2=\dfrac{136}{9}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+\dfrac{1}{x+y}=u\\x-y+\dfrac{1}{x-y}=v\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u+v=\dfrac{16}{3}\\u^2+v^2=\dfrac{136}{9}\end{matrix}\right.\)

Hệ cơ bản, chắc bạn tự giải quyết phần còn lại được

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có;

\(\dfrac{x^2}{9}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{x^2+y^2}{25}=\dfrac{100}{25}=4\)

Do \(\dfrac{x^2}{9}=4\Rightarrow x^2=36\Rightarrow x=\pm6\)

\(\dfrac{y^2}{16}=4\Rightarrow y^2=64\Rightarrow y=\pm8\)

Vậy...

Áp dụng t,c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{x^2}{9}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{x^2+y^2}{9+16}=\dfrac{100}{25}=4\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2}{9}=4\\\dfrac{y^2}{16}=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=-6\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}y=8\\y=-8\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy ..

Áp dụng t,c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

Vậy ..

\(\dfrac{x^2}{9}=\dfrac{y^2}{16}\&x^2+y^2=100\)

Áp dụng tc dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\dfrac{x^2}{9}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{x^2+y^2}{9+16}=\dfrac{100}{25}=4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2}{9}=4\\\dfrac{y^2}{16}=4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=8\end{matrix}\right.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x^2}{9}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{x^2+y^2}{9+16}=\dfrac{100}{25}=4\)

Do đó: \(x^2=36;y^2=64\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{6;-6\right\}\\y\in\left\{8;-8\right\}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{3}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{x}{5}\right)^2=\left(\dfrac{y}{3}\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{25}=\dfrac{y^2}{9}\)

Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x^2}{25}=\dfrac{y^2}{9}\)

\(=\dfrac{x^2-y^2}{25-9}\)

\(=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4}.5=\dfrac{5}{4}\\y=\dfrac{1}{4}.3=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{3}\) và \(x^2-y^2=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{25}=\dfrac{y^2}{9}\) và \(x^2-y^2=4\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số b/nhau,ta có:

\(\dfrac{x^2}{25}=\dfrac{y^2}{9}=\dfrac{x^2-y^2}{25-9}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}=0.25\)

Với \(\dfrac{x^2}{25}=0,25\Rightarrow\dfrac{x}{5}=0,25\Rightarrow x=1,25\)

\(\dfrac{y^2}{9}=0,25\Rightarrow\dfrac{y}{3}=0,25\Rightarrow y=0,75\)

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{13}=\dfrac{x+y}{7+13}=\dfrac{40}{20}=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7.2=14\\y=13.2=26\end{matrix}\right.\)

Vật \(x=14;y=26\)

b) (Chỗ này bạn viết nhầm thì phải)

Ta có:

\(7x=3y\Rightarrow\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{7}\)

và \(x-y=-16\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{x-y}{3-7}=\dfrac{-16}{-4}=4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3.4=12\\y=7.4=28\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x=12;y=28\)

c) Ta có:

\(\dfrac{x}{19}=\dfrac{y}{21}=\dfrac{2x}{38}\)

và \(2x-y=34\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{2x}{38}=\dfrac{y}{21}=\dfrac{2x-y}{38-21}=\dfrac{34}{17}=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=38.2=76\Rightarrow x=38\\y=21.2=42\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x=38;y=42\)

d) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x^2}{9}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{x^2+y^2}{9+16}=\dfrac{100}{25}=4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=9.4=36=6^2=\left(-6\right)^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=-6\end{matrix}\right.\\y^2=16.4=64=8^2=\left(-8\right)^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=8\\y=-8\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x:y\right)\in\left\{\left(6;8\right);\left(6;-8\right);\left(-6;8\right);\left(-6;-8\right)\right\}\)

Cả 4 cái có 1 câu huyền thoại:"Áp dụng tính chất dãy tỉ số = nhau ta có" nên mk nói cho cả 4 lun :v

a) \(\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{13}=\dfrac{x+y}{7+13}=\dfrac{40}{20}=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2.7=14\\y=2.13=26\end{matrix}\right.\)

b) \(\dfrac{x}{19}=\dfrac{y}{21}\Rightarrow\dfrac{2x}{38}=\dfrac{y}{21}=\dfrac{2x-y}{38-21}=\dfrac{34}{17}=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2.19=38\\y=2.21=42\end{matrix}\right.\)

c) \(7x=3y\Rightarrow\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{x-y}{3-7}=\dfrac{-16}{-4}=4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4.3=12\\y=4.7=28\end{matrix}\right.\)

c) \(\dfrac{x^2}{9}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{x^2+y^2}{9+16}=\dfrac{100}{25}=4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=4.9=36\Rightarrow x=\pm6\\y^2=4.16=64\Rightarrow y=\pm8\end{matrix}\right.\)

\(\)

Ta có:

\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{125}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{8}\)

\(=\dfrac{x^3-y^3-z^3}{125-64-8}\left(1\right)\) ( Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau )

Vì \(x^3-y^3=z^3\)

\(\Rightarrow x^3-y^3-z^3=0\left(2\right)\)

Thay (2) vào (1) ta được

\(\dfrac{x^3-y^3-z^3}{125-64-8}=\dfrac{0}{53}=0\)

Với \(\dfrac{x^3}{125}=0\)

\(\Rightarrow x^3=0\)

\(\Rightarrow x=0\)

Với \(\dfrac{y^3}{64}=0\)

\(\Rightarrow y^3=0\)

\(\Rightarrow y=0\)

Với \(\dfrac{z^3}{8}=0\)

\(\Rightarrow z^3=0\)

\(\Rightarrow z=0\)

Vậy x = y = z = 0

Ta có: \(x^3-y^3=z^3\Rightarrow x^3-y^3-z^3=0\)

\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{2}\Rightarrow\dfrac{x^3}{125}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{8}\)

Áp dụng t/c dãy TSBN ta được:

\(\dfrac{x^3}{125}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{8}=\dfrac{x^3-y^3-z^3}{125-64-8}=\dfrac{0}{125-64-8}=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{5}=0\\\dfrac{y}{4}=0\\\dfrac{z}{2}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=z=0\)

b) Áp dụng bđt Svac-xơ:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}+\dfrac{16}{z}\ge\dfrac{\left(1+3+4\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{64}{4}=16>9\)

=> hpt vô nghiệm

c) Ở đây x,y,z là các số thực dương

Áp dụng cosi: \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{3}=1\)

a. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{x+y}{2+5}=\frac{-21}{7}=-3$

$\Rightarrow x=2(-3)=-6; y=5(-3)=-15$

b. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$7x=3y=\frac{x}{\frac{1}{7}}=\frac{y}{\frac{1}{3}}=\frac{x-y}{\frac{1}{7}-\frac{1}{3}}=\frac{16}{\frac{-4}{21}}=-84$

$\Rightarrow x=(-84):7=-12; y=-84:3=-28$

c. $\frac{x}{y}=\frac{5}{9}\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{9}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{5}=\frac{y}{9}=\frac{3x}{15}=\frac{2y}{18}=\frac{3x+2y}{15+18}=\frac{66}{33}=2$

$\Rightarrow x=2.5=10; y=9.2=18$

d. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{15}=\frac{y}{7}=\frac{2y}{14}=\frac{x-2y}{15-14}=\frac{16}{1}=16$

$\Rightarrow x=16.15=240; y=7.16=112$

e.

Đặt $\frac{x}{5}=\frac{y}{2}=k\Rightarrow x=5k ; y=2k$

Khi đó: $xy=5k.2k=10k^2=1000\Rightarrow k^2=100\Rightarrow k=\pm 10$

Với $k=10$ thì $x=5k=50; y=2k=20$

Với $k=-10$ thì $x=5k=-50; y=2k=-20$

Bài 2:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{13}-\frac{y}{7}-\frac{z}{5}=\frac{x-y-z}{13-7-5}=\frac{6}{1}=6$

$\Rightarrow x=13.6=78; y=7.6=42; z=5.6=30$