Từ pt thứ nhất: \(\Leftrightarrow x+1+\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}=\left(-y\right)+\sqrt{\left(-y\right)^2+1}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t+\sqrt{t^2+1}\Rightarrow f'\left(t\right)=1+\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}=\dfrac{t+\sqrt{t^2+1}}{\sqrt{t^2+1}}\)

\(f'\left(t\right)>\dfrac{t+\sqrt{t^2}}{\sqrt{t^2+1}}=\dfrac{t+\left|t\right|}{\sqrt{t^2+1}}\ge0\Rightarrow f'\left(t\right)>0\) ; \(\forall t\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên R

\(\Rightarrow x+1=-y\Rightarrow y=-x-1\)

Thế xuống pt dưới:

\(x^3-\left(3x^2-2x-8\right)\sqrt{2x^2+x-1}=0\)

Bạn coi lại đề, pt vô tỉ này ko giải được

ĐKXĐ: \(x;y\ge0\)

Với \(x=0\) hoặc \(y=0\) đều ko là nghiệm

Với \(x;y>0\) hệ tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}1+\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{2}{\sqrt{3x}}\\1-\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}\end{matrix}\right.\)

Lần lượt cộng vế với vế và trừ vế cho vế ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}1=\dfrac{1}{\sqrt{3x}}+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}\\\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{\sqrt{3x}}-\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}\end{matrix}\right.\)

Nhân vế với vế:

\(\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{3x}-\dfrac{8}{7y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{y}{3}-\dfrac{8x}{7}=1\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{24x+21}{7}\)

Rồi thế vào 1 trong các pt đầu 

Nhưng em có nhầm đề ko mà con số xấu kinh khủng vậy nhỉ? Số \(\sqrt{7}\) kia cho xấu 1 cách ko cần thiết, nó ko ảnh hưởng đến cách giải mà chỉ khiến cho việc tính toán khó khăn 1 cách cơ học khá vớ vẩn

ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7\sqrt{16-y^2}=x^2+5x-6\\2\left(y-4\right)^2=-x^2-4x+5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow7\sqrt{16-y^2}+2\left(y-4\right)^2=x-1\)

Do \(7\sqrt{16-y^2}+2\left(y-4\right)^2\ge0\Rightarrow x-1\ge0\Rightarrow x\ge1\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+2\left(y-4\right)^2\ge\left(x+2\right)^2\ge9\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=4\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ có cặp nghiệm duy nhất nói trên

Đặt vế trái là P

\(P=\dfrac{x^4}{\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{1}{y}}+\dfrac{y^4}{\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{1}{z}}+\dfrac{z^4}{\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{1}{x}}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\)

\(P\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3z+y^3x+z^3y+xy+yz+zx}\)

Ta có:

\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\dfrac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3\sqrt[3]{xy.yz.zx}\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow3\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge3\left(xy+yz+zx\right)\) (1)

\(x^4+x^2z^2\ge2\sqrt{x^6z^3}=2x^3z\)

\(y^4+x^2y^2\ge2y^3x\) ; \(z^4+y^2z^2\ge2z^3y\)

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge2\left(x^3z+y^3x+z^3y\right)\) (2)

Lại có: \(x^4+x^4+x^4+z^4\ge4x^3z\) ; \(3y^4+x^4\ge4y^3x\) ; \(3z^4+y^4\ge4z^3y\)

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^3z+y^3x+z^3y\) (3)

Cộng vế (1);  (2) và (3):

\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge3\left(x^3z+y^3x+z^3y+xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{2}\)

\(ĐK:x\le6;y\ge3\\ \left\{{}\begin{matrix}x^2+2y=xy+4\left(1\right)\\x^2-x-3-x\sqrt{6-x}=\left(y-3\right)\sqrt{y-3}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-4+2y-xy=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)-y\left(x-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-y+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=y-2\end{matrix}\right.\)

Từ đó thế vào PT(2)

Với \(x=y-2\Leftrightarrow x+2=y\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow x^2-x+3-x\sqrt{6-x}=\left(x-1\right)\sqrt{x-1}\left(1\le x\le6\right)\\ \Leftrightarrow2x^2-2x+6-2x\sqrt{6-x}=2\left(x-1\right)\sqrt{x-1}\\ \Leftrightarrow\left(x-\sqrt{6-x}\right)^2+x\left(x-1\right)=2\left(x-1\right)\sqrt{x-1}\\ \Leftrightarrow\left(x-\sqrt{6-x}\right)^2+\left(x-1\right)\left(x-2\sqrt{x-1}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2-6+x}{x+\sqrt{6-x}}\right)^2+\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)}{x^2+2\sqrt{x-1}}=0\\ \Leftrightarrow\left[\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}{x+\sqrt{6-x}}\right]^2+\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2}{x^2+2\sqrt{x-1}}=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\left[\left(\dfrac{x+3}{x+\sqrt{6-x}}\right)^2+\dfrac{x-1}{x^2+2\sqrt{x-1}}\right]=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(tm\right)\\\left(\dfrac{x+3}{x+\sqrt{6-x}}\right)^2+\dfrac{x-1}{x^2+2\sqrt{x-1}}=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy \(\left(1\right)>0\) với \(x\ge1\)

Do đó \(x=2\Leftrightarrow y=4\)

Vậy HPT có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(2;4\right)\)

part full :v

*Th 1: \(x+y=2\)

\(Pt\left(1\right)\Leftrightarrow3y\sqrt{2-y^2}=x+\dfrac{4}{x+1}\)

xét \(VT=3y\sqrt{2-y^2}=3\sqrt{y^2\left(2-y^2\right)}\le3.\dfrac{y^2+2-y^2}{2}=3\)(theo AM-GM)

\(VT=x+\dfrac{4}{x+1}=\left(x+1\right)+\dfrac{4}{x+1}-1\ge2\sqrt{\dfrac{4\left(x+1\right)}{x+1}}-1=4-1=3\)(theo AM-GM)

do đó \(VT\le3;VF\ge3\)

\(VT=VF\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2=2-y^2\\x+1=\dfrac{4}{x+1}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm1\\\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)(tmđkxđ)(4 cặp)

*TH 2 \(\left(x+1\right)\sqrt{2-y^2}=1\Leftrightarrow x+1=\dfrac{1}{\sqrt{2-y^2}}\)(\(-\sqrt{2}< y< \sqrt{2}\))

thế vào Pt(1) , bình phương giải (nhác làm quá)

\(Pt\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+1\right)\sqrt{2-y^2}-1\right]=0\)

\(ĐK:x+y\ge0;x-y\ge0;x,y\ge0\)

\(PT\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x+y}-1+\sqrt{x-y}-\sqrt{x^2-y^2}=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{x+y-1}{\sqrt{x+y}+1}+\dfrac{x-y-x^2+y^2}{\sqrt{x-y}+\sqrt{x^2-y^2}}=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{x+y-1}{\sqrt{x+y}+1}+\dfrac{\left(y-x\right)\left(x+y-1\right)}{\sqrt{x-y}+\sqrt{x^2-y^2}}=0\\ \Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+y}+1}+\dfrac{y-x}{\sqrt{x-y}+\sqrt{x^2+y^2}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y-1=0\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+y}-1}+\dfrac{y-x}{\sqrt{x-y}+\sqrt{x^2+y^2}}>0\right)\)

\(\Leftrightarrow y=x-1\)

Thế vào \(PT\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=1\left(x\ge1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}-1+\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-1}{\sqrt{x-1}}=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\right)=0\\ \Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow y=0\)

Vậy ...

Giải hệ phương trình :(4.x^2 + 1).x + (y − 3) √5 − 2y = 04.x^2 + y^2 + 2.√3 − 4x = 7(x, y ∈ R)  - Hoc24