Cho hệ phương trình: m x − m + 1 y = 3 m x − 2 m y = m + 2 x + 2 y = 4 . Để hệ phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp của tham số m là:
A. m = 5 2
B. m = − 5 2
C. m = 2 5
D. m = − 2 5
Cho hệ phương trình ( x+y = 2 mx−y = m với m là tham số.
a) Giải hệ phương trình khi m = −2.
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho 3x−y = −10.
c) Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) mà x, y là những số nguyên
a) Với m = -2
=> hpt trở thành: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\-2x-y=-2\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}y=2-x\\-x=0\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy S = {0; 2}
b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\left(1\right)\\mx-y=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
=> x + mx = 2 + m
<=> x(m + 1) = 2 + m
Để hpt có nghiệm duy nhất <=> \(m\ne-1\)
<=> x = \(\dfrac{m+2}{m+1}\) thay vào pt (1)
=> y = \(2-\dfrac{m+2}{m+1}=\dfrac{2m+2-m-2}{m+1}=\dfrac{m}{m+1}\)
Mà 3x - y = -10
=> \(3\cdot\dfrac{m+2}{m+1}-\dfrac{m}{m+1}=-10\)
<=> \(\dfrac{2m+6}{m+1}=-10\) <=> m + 3 = -5(m + 1)
<=> 6m = -8
<=> m = -4/3
c) Để hpt có nghiệm <=> m \(\ne\)-1
Do x;y \(\in\) Z <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m+2}{m+1}\in Z\\\dfrac{m}{m+1}\in Z\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x=\dfrac{m+2}{m+1}=1+\dfrac{1}{m+1}\)
Để x nguyên <=> 1 \(⋮\)m + 1
<=> m +1 \(\in\)Ư(1) = {1; -1}
<=> m \(\in\) {0; -2}
Thay vào y :
với m = 0 => y = \(\dfrac{0}{0+1}=0\)(tm)
m = -2 => y = \(\dfrac{-2}{-2+1}=2\)(tm)
Vậy ....
Bài tập 1 Cho hệ phương trình (1)
1. Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 .
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = và y = .
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
cho hệ phương trình {x+2y=2 , mx-y=m (m là tham số) a) giải hệ phương trình khi m=2 b) tìm m để hệ phương trình nhận cặp (x,y)=(2,-1) làm nghiệm
a, tại m=2 thì hệ tương đương với\(\hept{\begin{cases}x+2y=2\\2x-y=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y=2\\4x-2y=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y=2\\5x=6\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{6}{5}\\y=\frac{2}{5}\end{cases}}}} }\)
b, do thay (x,y)=(2,-1) vào phương trình x+2y=2 không thỏa mãn nên hệ phương trình không nhận cặp (x,y)=(2,-1) là nghiệm
Cho hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+x=1\\2x-y=m\end{matrix}\right.\)
a) Giải hệ phương trình với m= -1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m x>0
y \(\le\) 0
a, Thay \(m=-1\) vào
\(=>\left\{{}\begin{matrix}-x+y=1\\2x-y=-1\end{matrix}\right.\\ =>\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)
b, Để hệ pt có nghiệm duy nhất :
\(\dfrac{m}{2}\ne\dfrac{1}{-1}\\ =>\dfrac{m}{2}\ne-1\\ =>m\ne-2\)
Cho hệ phương trình: 2X +Y = 3m-2 ( m là tham số ) X - Y = 5 a) Giải hệ phương trình khi m = - 4 ; b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x + y = 13.
cho hệ phương trình : x+my=m+1
mx+y=3m-1 ( m là tham số )
a.giải hệ phương trình với m =-2
b. tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất(x;y) thỏa mãn x2-y2=4
a: Thay m=-2 vào hệ phương trình, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=-2+1=-1\\-2x+y=3\cdot\left(-2\right)-1=-7\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=-2\\-2x+y=-7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3y=-9\\x-2y=-1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=2y-1=2\cdot3-1=5\end{matrix}\right.\)
b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{1}\)
=>\(m^2\ne1\)
=>\(m\notin\left\{1;-1\right\}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m\left(m+1-my\right)+y=3m-1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m^2+m-m^2y+y=3m-1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\y\left(-m^2+1\right)=3m-1-m^2-m=-m^2+2m-1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\y\left(m-1\right)\left(m+1\right)=\left(m-1\right)^2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m-1}{m+1}\\x=m+1-m\cdot\dfrac{m-1}{m+1}=\left(m+1\right)-\dfrac{m^2-m}{m+1}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m-1}{m+1}\\x=\dfrac{m^2+2m+1-m^2+m}{m+1}=\dfrac{3m+1}{m+1}\end{matrix}\right.\)
\(x^2-y^2=4\)
=>\(\dfrac{\left(3m+1\right)^2-\left(m-1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}=4\)
=>\(\dfrac{9m^2+6m+1-m^2+2m+1}{\left(m+1\right)^2}=4\)
=>\(8m^2+8m+2=4\left(m+1\right)^2\)
=>\(8m^2+8m+2-4m^2-8m-4=0\)
=>\(4m^2-2=0\)
=>\(m^2=\dfrac{1}{2}\)
=>\(m=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Bài 3. Cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x-my=1\\x+y=m^2\end{matrix}\right.\) với m là tham số.
a) Giải hệ phương trình với m = 3.
b) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất.
c) Tìm m để hệ phuwong trình trên vô số nghiệm.
a) Thay m=3 vào hệ phương trình, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-3y=1\\x+y=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4y=-8\\x+y=9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9-y\\y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy: Khi m=3 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=2\end{matrix}\right.\)
b) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{1}\ne\dfrac{-m}{1}\)
\(\Leftrightarrow-m\ne1\)
hay \(m\ne-1\)
Vậy: Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(m\ne-1\)
c) Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì \(\dfrac{1}{1}=\dfrac{-m}{1}=\dfrac{1}{m^2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m=1\\m^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\m\in\left\{1;-1\right\}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-1\)
Vậy: Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì m=-1
Cho hệ phương trình :
mx+4y=9 và x+my=8
a, Giải hệ phương trình với m=1.
b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (1;3)
c, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất . Tìm nghiệm đó
a) Thay m=1 vào hệ phương trình, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+4y=9\\x+y=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3y=1\\x+y=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{3}\\x=8-y=8-\dfrac{1}{3}=\dfrac{23}{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy: Khi m=1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{23}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
b) Để hệ phương trình có nghiệm (1;3) thì
Thay x=1 và y=3 vào hệ phương trình, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}m+12=9\\1+3m=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-3\\3m=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\notin\varnothing\)
Vậy: Không có giá trị nào của m để hệ phương trình có nghiệm (1;3)
Thay m=1 vào hpt trên ta có:
1.x+4y=9 và x+1y=8
<=> x+4y=9 và x+y=8
<=> x+4y=9 và 4x+4y=32
<=> -3x = -23 và x+y=8
<=> x = \(\dfrac{23}{3}\) và y = \(\dfrac{1}{3}\)
b) Để hệ phương trình có nghiệm (1;3)
=> x = 1; y = 3
Thay x = 1; y = 3 vào hpt trên ta có:
m1+43=9 và 1+m3=8
<=> m+12 = 9 và 1 + 3m = 8
<=> m = -3 và m = \(\dfrac{7}{3}\)
Vậy m \(\in\left\{-3;\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right\}\) thì hệ phương trình có nghiệm (1;3)
c) mx+4y=9 và x+my=8
SD phương pháp thế
Ra pt bậc nhất 1 ẩn: 8m - m2y + 4y = 9
<=> 8m - y(m2 -4) = 9
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất => m2 -4 \(\ne\) 0
<=> m2 \(\ne\) 4
<=> m \(\ne\) 2 và m \(\ne\) -2
cho hệ phương trình x+my=3m
mx-y=m2-2 ( m là tham số)
a. giải phương trình với m=-1
b. tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn (x-1)(m-y),0
a: Thay m=-1 vào hệ phương trình, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=3\cdot\left(-1\right)=-3\\-x-y=\left(-1\right)^2-2=-3\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2y=-6\\x-y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=y-3=3-3=0\end{matrix}\right.\)
Cho hệ phương trình: { 2mx + y = 2 (m mà than số)
{ 8x + my = m + 2
a) Giải hệ phương trình khi m = -1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm là x = 2; y = 6
c) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
d) Trong trường hợp có nghiệm duy nhất:
+ Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m
+ Tìm m để 4x + 3y = 7
+ Tìm m để x - y > 0
+ Tìm m để P = y^2 - 2x đạt giá trị nhỏ nhất