\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(2cos^2x-1\right)-4cosx-1=0\\sinx\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4cos^2x-4cosx-3=0\\sinx\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}cosx=\frac{3}{2}\left(l\right)\\cosx=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\\sinx\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\)

Lời giải:

Nếu $x=-2$ thì HBPT $\Leftrightarrow $m\geq -2$

Nếu $x\neq -2$ thì HBPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x\leq m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x\leq m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow -1\leq x\leq m(*)\).

Giả sử $m>-1$ thì HBPT có vô số nghiệm thực $x$

Giả sử $m< -1$ thì $(*)$ vô lý nên HBPT chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 nghiệm $x=-2$

Giả sử $m=-1$ thì $(*)$ có nghiệm $x=-1$. Tổng kết lại HBPT có 2 nghiệm $x=-1$ và $x=-2$

a)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+5< 0\\x^2-6x+1>0\end{matrix}\right.\)

\(\)Ta có

\(x^2+x+5=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{19}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}\ge\dfrac{19}{4}>0\)

=> Bất phương trình đàu tiên sai, hệ bất phương trình sai

b)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x-6>0\\3x^2-10x+3\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-3\right)\left(x+2\right)>0\\\left(x-3\right)\left(3x-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x>2\\x< -3\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x\le-\dfrac{1}{3}\\x\ge3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-1}{x}\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x}\ge0\)

Trường hợp 1:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ge0\\x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le-1\end{matrix}\right.\\x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ge1\)

Trường hợp 2:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x+1\right)\le0\\x< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le1\\x< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-1\le x< 0\)

Vậy hệ có nghiệm \(S=[1;+\infty)\cup [-1;0)\)

a) Hình a:

\(x^2-2x< 0\Leftrightarrow0< x< 2\) \(\Rightarrow D_1=\left(0;2\right)\)

Xét \(f\left(x\right)=x^2+2\left(m-1\right)x+m^2\ge0\) (1)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m^2=1-2m\)

- Với \(\Delta'\le0\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\) thì (1) luôn đúng \(\Leftrightarrow\) hệ có nghiệm

- Với \(m< \dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) gọi 2 nghiệm của (1) là \(x_1< x_2\) \(\Rightarrow D_2=(-\infty;x_1]\cup[x_2;+\infty)\)

Để hệ vô nghiệm \(\Leftrightarrow D_1\cap D_2=\varnothing\) \(\Leftrightarrow x_1\le0< 2\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\le0\\f\left(2\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2\le0\\4+4\left(m-1\right)+m^2\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\m^2+4m\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=0\)

\(\Rightarrow\) Hệ có nghiệm khi \(m\ne0\)

Vậy