Cho a,b,c đôi một khác nhau và \(\left\{{}\begin{matrix}a^2x+ay+z+a^3=0\\b^2x+by+z+b^3=0\\c^2x+cy+z+c^3=0\end{matrix}\right.\)
Tính \(x^2-2y+z\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2x+ay+z+a^3=0\\b^2x+by+z+b^3=0\\c^2x+cy=z+c^3=0\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2x+ay+z=a\\b^2x+by+z=b\\c^2x+cy+z=c\end{matrix}\right.\). Giải hệ phương trình với a, b, c phân biệt.
Lần lượt trừ pt đầu cho 2 pt dưới:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)\left(a+b\right)x+\left(a-b\right)y=a-b\\\left(a-c\right)\left(a+c\right)x+\left(a-c\right)y=a-c\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)x+y=1\\\left(a+c\right)x+y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)
Thế vào pt đầu \(\Rightarrow z=0\)
giải hệ phương trình
a) \(\left\{{}\begin{matrix}3x-2y+z=14\\2x+y-z=3\\z-2x=-5\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y^2=4y+2x+3\\x^2+2x+y=0\end{matrix}\right.\)
c)\(\left\{{}\begin{matrix}\left|xy-4\right|=8-y^2\\xy=2+x^2\end{matrix}\right.\)
b: =>x^2-y^2-4y-2x-3=0 và x^2+2x+y=0
=>x^2-2x+1-y^2-4y-4=0 và x^2+2x+y=0
=>x=1 và y=-2 và x^2+2x+y=0
=>Hệ vô nghiệm
a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=2x-5\\y=3-2x+z=3-2x+2x-5=-2\\3x-2\cdot\left(-2\right)+2x-5=14\end{matrix}\right.\)
=>y=-2; 3x+4+2x-5=14; z=2x-5
=>y=-2; x=3; z=2*3-5=1
Giải hệ phương trình:
a) \(\left\{{}\begin{matrix}4x^3+y^2-2y+5=0\\x^2+x^2y^2-4y+3=0\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x^2}{x^2+1}=y\\\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}=z\\\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}=x\end{matrix}\right.\)
Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại
Với pt sau:
Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm
Với \(x;y;z\ne0\)
Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3
Do đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-yz=a\\y^2-xz=b\\z^2-xy=c\end{matrix}\right.\) với x, y, z thuộc Z và x, y, z khác 0. Chứng minh:\(ax+by+cz⋮x+y+z\); a, b, c, d là các số nguyên khác nhau
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-yz=a\\y^2-xz=b\\z^2-xy=c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3-xyz=ax\\y^3-xyz=by\\z^3-xyz=cz\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ax+by+cz=x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)⋮\left(x+y+z\right)\)
Giải hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0;y>0;z>0\\x+y+z=3\\x^2y+y^2z+z^2x=4\end{matrix}\right.\)
giải hệ phương trình
a)\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)=10\\\left(x+y\right)\left(xy-1\right)=3\end{matrix}\right.\)
b)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+2\left(xy-2\right)=0\\x^2+y^2-2xy=16\end{matrix}\right.\)
c)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x\sqrt{y}+2y=x\\y^2-2y\sqrt{x}+2z=y\\z^2-2z\sqrt{x}+2x=z\end{matrix}\right.\)
Giải HPT
1)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z=1\\x^2+y+z^2=1\\x+y^2+z^2=1\end{matrix}\right.\)
2)
\(\left\{{}\begin{matrix}xyz=x+y+z\\yzt=y+z+t\\ztx=z+t+x\\txy=t+x+y\end{matrix}\right.\)
3)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^2=2\\x^2+xy+y^2-y=0\end{matrix}\right.\)
4)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2-2x+y^2=0\\2x^2-4x+y^3+3=0\end{matrix}\right.\)
\(cho:\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y+1=0\\y^2+2z+1=0\\z^2+2x+1=0\end{matrix}\right.\) tính A=x2000+y2000+z2000
Có: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y+1=0\\y^2+2z+1=0\\z^2+2x+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+2y+1+y^2+2z+1+z^2+2x+1=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)+\left(z^2+2z+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=0^{\left(1\right)}\)
Lại có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\\\left(y+1\right)^2\ge0\forall y\\\left(z+1\right)^2\ge0\forall z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2\ge0\forall x;y;z^{\left(2\right)}\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y+1=0\\z+1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=z=-1\)
Thay \(x=y=z=-1\) vào \(A\), ta được:
\(A=\left(-1\right)^{2000}+\left(-1\right)^{2000}+\left(-1\right)^{2000}\)
\(=1+1+1=3\)
\(\text{#}\mathit{Toru}\)