cho các số a,b,c thỏa điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}c>0\\\left(c+a\right)^2< ab+bc-2ac\end{matrix}\right.\) chứng minh rằng phương trình ax^2+bx+c=0 luôn luôn có nghiệm
Cho a,b,c thỏa điều kiện : \(\left\{{}\begin{matrix}c>0\\\left(c+a\right)^2< ab+bc-2ac\end{matrix}\right.\). Chứng minh \(ax^2+bx+c=0\)luôn có nghiệm
Lời giải:
Với $a=0$ thì pt trở thành: \(bx+c=0\)
\((c+a)^2< ab+bc-2ac\Leftrightarrow c^2< bc\Rightarrow c(c-b)< 0\Rightarrow 0< c< b\)
PT luôn có nghiệm \(x=\frac{-c}{b}\)
Với $a\neq 0$
Nếu \(ac<0\Rightarrow b^2-ac>0\Leftrightarrow \Delta>0\) nên pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm
Nếu \(ac>0, c>0\Rightarrow a>0\)
Ta có: \((c+a)^2< ab+bc-2ac< ab+bc\) do \(ac>0\)
\(\Leftrightarrow (c+a)^2< b(a+c)\)
Vì \(a>0, c>0\Rightarrow a+c>0\), chia 2 vế cho $a+c$ thu được:
\(0< c+a< b\Rightarrow \Delta'=b^2-4ac>(c+a)^2-4ac=(a-c)^2\geq 0\)
Do đó pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm
cho các số a,b,c thõa điều kiện :\(\hept{\begin{cases}c>0\\\left(c+a\right)^2< ab+bc-2ac\end{cases}}\) Chứng minh \(ax^2+bx+c=0\)luôn có nghiệm
Ta có: \(\Delta=b^2-4ac\)
Lại có: \(\left(a+c\right)^2< ab+bc-2ac\)
\(\Rightarrow-2ac>b\left(a+c\right)+\left(a+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\Delta=b^2-4ac>b^2+2b\left(a+c\right)+2\left(a+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\Delta>\left(a+b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2>0\)
Suy ra phương trình \(ax^2+bx+c\) luôn có nghiệm
cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\\left(m+1\right)x+my=7\end{matrix}\right.\)
a) chứng minh rằng: với mọi m thì hệ phương trình luôn có nghiệm x,y thỏa mãn x.y =< 1
b) tìm m là số nguyên để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x.y>0
Lời giải:
a.
Từ $x+y=2\Rightarrow y=2-x$. Thay vào PT(2):
$(m+1)x+m(2-x)=7$
$\Leftrightarrow x+2m=7$
$\Leftrightarrow x=7-2m$
$y=2-x=2-(7-2m)=2m-5$
Vậy hpt có nghiệm $(x,y)=(7-2m, 2m-5)(*)$
Nếu $x,y$ có 1 số $\geq 0$, một số $\leq 0$ thì $xy\leq 0< 1$
Nếu $x,y$ cùng $\geq 0$ thì áp dụng BĐT Cô-si:
$2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 1$
Vậy tóm lại $xy\leq 1(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra với mọi $m$ thì hpt luôn có nghiệm $x,y$ thỏa mãn $xy\leq 1$
b.
$xy>0$
$\Leftrightarrow (7-2m)(2m-5)>0$
$\Leftrightarrow 7> 2m> 5$
$\Leftrightarrow \frac{7}{2}> m> \frac{5}{2}$
Do $m$ nguyên nên $m=3$
Thử lại thấy đúng.
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b^2-4ac< 2b-1\end{matrix}\right.\). Chứng minh hệ sau vô nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=y\\ay^2+by+c=z\\az^2+bz+c=x\end{matrix}\right.\)
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c>0\\ab+bc+ca>0\\abc>0\end{matrix}\right.\). Hãy chứng minh: a,b,c>0
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c>0\left(1\right)\\ab+bc+ac>0\left(2\right)\\abc>0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Giả sử trong ba số a,b,c có một số âm hay bằng o . Giả sử số đó là a.
Khi đó : (1) ==> b + c > -a \(\ge\) 0 ==> a(b+c) \(\le0\)
Do đó : (2) ==> bc + a(b+c) > 0 ==> bc > -a ( b+c) \(\ge\) 0 . Mà a < 0 ==> abc < 0 (vô lí vì abc >0 do (3))
Vậy cả ba số a , b ,c đều dương
2. Gía trị của a để các hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}x+2a\left(khix< 0\right)\\x^2+x+1\left(khix\ge0\right)\end{matrix}\right.\)liên tục tại x=0
3. Chứng minh phương trình \(x^4-x-2=0\) luôn có nghiệm thuộc khoảng (1;2)
2.
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(x+2a\right)=2a\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(x^2+x+1\right)=1\)
Hàm liên tục tại \(x=0\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow2a=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\)
3. Đặt \(f\left(x\right)=x^4-x-2\)
Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R nên liên tục trên \(\left(1;2\right)\)
\(f\left(1\right)=-2\) ; \(f\left(2\right)=12\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)=-24< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1;2)
Hay pt đã cho luôn có nghiệm thuộc (1;2)
Cho a,b,x,y là các số thực thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x\in\left(0;a\right),y\in\left(0;b\right)\\a^2+y^2=b^2+x^2=2\left(ã+by\right)\end{matrix}\right.\)
Chứng minh rằng : ab + xy = 2(ay+bx)
cho phương trình ax^2+bx+c=0 với các số a,b,c là các số thực nghiệm khác 0 và thỏa mãn điều kiện a+b+2c=0. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm trên tập số thực
Đặt \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\).
\(f\left(0\right)=c;f\left(1\right)=a+b+c\)
Do \(a+b+2c=0\) nên c và \(a+b+c\) trái dấu. Suy ra f(0)f(1) < 0 nên f(x) = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm tren (0; 1).
Chứng minh rằng với điều kiện: \(\hept{\begin{cases}c>0\\\left(a+c\right)^2< ab+bc-2ac\end{cases}}\) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) luôn có nghiệm.
Ta có (a + c)2 < ab + bc - 2ac
<=> ab + bc - a2 - c2 - 4ac > 0 (1)
Ta lại có a2 + b2 + c2 \(\ge\)ab + bc +ca > ab + bc (2)
Từ (1) và (2) => b2 - 4ac > 0
Vậy PT luôn có nghiệm