ĐK: m \(\ne2\)

đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3 khi và chỉ khi \(0=\left(m-2\right).3+m+3\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}\) (tm)

ĐKXĐ: \(-\sqrt{5}\le x\le\sqrt{5}\)

\(x^2+\sqrt{x+5}=5\Leftrightarrow x+1-\sqrt{x+5}-x^2-x+4=0\Leftrightarrow\dfrac{x^2+x-4}{x+1+\sqrt{x+5}}-\left(x^2+x-4\right)=0\Leftrightarrow\left(x^2+x-4\right)\left(\dfrac{1}{x+1+\sqrt{x+5}}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x-4=0\left(1\right)\\\dfrac{1}{x+1+\sqrt{x+5}}-1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}\left(tmđk\right)\\x=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}\left(ktmđk\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (2) \(\Rightarrow\) \(-x-\sqrt{x+5}=0\) (quy đồng)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+5}=-x\left(x\le0\right)\Leftrightarrow x+5=x^2\Leftrightarrow x^2-x-5=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}\left(ktm\right)\\x=\dfrac{1-\sqrt{21}}{2}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của pt là \(x=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2};x=\dfrac{1-\sqrt{21}}{2}\)

ĐK: \(a\ge0\)

A = \(\sqrt{a}b\left(\sqrt{a}+1\right)+\sqrt{a}+1=\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}b+1\right)\)

Giả sử tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

Ta có: \(OA+OB>AB\left(1\right)\)

và \(OC+OD>DC\left(2\right)\)

Cộng (1) cho (2) vế theo vế ta được \(AC+BD>AB+CD\) (đpcm)

Vậy...

\(\left(x^2+6x+15\right)\left(x^2+10x+21\right)+15=\left(x+5\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)+15=\left(x+5\right)\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x+7\right)+15=\left(x^2+8x+15\right)\left(x^2+8x+7\right)+15\)

Đặt \(x^2+8x+7=a\)

Khi đó pt thành \(a\left(a+8\right)+15=a^2+8a+15=\left(a+3\right)\left(a+5\right)\)

Do đó: \(\left(x^2+6x+5\right)\left(x^2+10x+21\right)+15=\left(x^2+8x+10\right)\left(x^2+8x+12\right)\)

Áp dụng bđt cosi cho 3 số thực không âm a,b,c ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (1)

Và \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\) (2)

Nhân (1) cho (2) vế theo vế được :

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)

hay \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\) (đpcm)

\(a^2+b^2+c^2=\dfrac{5}{3}< 2\)

Mà \(a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ac-2ab\)

Do đó : \(2bc+2ac-2ab< 2\)

Chia cả hai vế cho 2abc ta được

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}< \dfrac{1}{abc}\) (đpcm)

u = \(\sqrt{2}+1\) => \(u^2=3+2\sqrt{2}\) => \(u^4=17+12\sqrt{2}\)=> \(u^8=577+408\sqrt{2}\) => \(u^{16}=665857+665857=1331714\)

P = \(u^8+\dfrac{1}{u^8}=\dfrac{u^{16}+1}{u^8}=\dfrac{1331714}{577+408\sqrt{2}}=1154\)