- Đặt \(a=x^2-2x\left(a\ge-1\right)\)

PTTT \(3\sqrt{a+3}=a+m\left(a\ge-m\right)\)

\(\Leftrightarrow9\left(a+3\right)=\left(a+m\right)^2=a^2+2am+m^2=9a+27\)

\(\Leftrightarrow a^2+a\left(2m-9\right)+m^2-27=0\)

Có : \(\Delta=\left(2m-9\right)^2-4\left(m^2-27\right)=4m^2-36m+81-4m^2+108\)

\(=-36m+189\)

- Để phương trình đề có 2 nghiệm phân biệt :

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)>0\\a_1+1+a_2+1>0\end{matrix}\right.\)

Lại có : Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}a_1+a_2=-2m+9\\a_1a_2=m^2-27\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\a_1a_2+a_1+a_2+1>0\\a_1+a_2+2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-36m+189>0\\m^2-27-2m+9+1=m^2-2m-17>0\\-2m+9+2=-2m+11>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=\left(-\infty;1-3\sqrt{2}\right)\cup\left(1+3\sqrt{2};\dfrac{21}{4}\right)\) ( * )

- Có : \(x^2-2x=a\)

- Đặt \(f\left(x\right)=x^2-2x\)

- Ta có đồ thị \(x^2-2x=0\)

- Từ độ thị hàm số : Để phương trình \(x^2-2x=a\) có 2 nghiệm phân biệt trong đoạn 0, 3 thì \(a=(-1;0]\)

Lại có : \(a=[-m;+\infty)\)

\(\Rightarrow-m\le0\)

\(\Rightarrow m\ge0\)

- Kết hợp với ( * )

\(\Rightarrow m\in\left(1+3\sqrt{2};\dfrac{21}{4}\right)\)

Vậy ...

ĐKXĐ: \(1\le x\le2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-x^2+3x-2=0\\x^2-2x+m=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\\x^2-2x+m=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Pt có 2 nghiệm pb khi và chỉ khi:

TH1: (1) vô nghiệm \(\Leftrightarrow m>1\)

Th2: 2 nghiệm của (1) đều không thuộc \(\left[1;2\right]\)

(1) \(\Leftrightarrow x^2-2x=-m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^2-2x\)

\(f\left(1\right)=-1\) ; \(f\left(2\right)=0\)

Để hàm có 2 nghiệm đều không thuộc khoảng đã cho thì \(-m>0\Leftrightarrow m< 0\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< 0\end{matrix}\right.\)

1.

Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\Rightarrow x^2-4x=t^2-5\)

Pt trở thành:

\(4t=t^2-5+2m-1\)

\(\Leftrightarrow t^2-4t+2m-6=0\) (1)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb đều lớn hơn 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-\left(2m-6\right)>0\\\left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}>1\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-2m>0\\t_1t_2-\left(t_1+t_1\right)+1>0\\t_1+t_2>2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 5\\2m-6-4+1>0\\4>2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{9}{2}< m< 5\)

2.

Để pt đã cho có 2 nghiệm:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\\Delta'=1+4\left(m-3\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m\ge\dfrac{11}{4}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(x_1^2+x_2^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{8}{m-3}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{2}{m-3}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{m-3}=-1-\sqrt{2}\\\dfrac{1}{m-3}=-1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4-\sqrt{2}< \dfrac{11}{4}\left(loại\right)\\m=4+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

3.

Nối AI kéo dài cắt BC tại D thì D là chân đường vuông góc của đỉnh A trên BC

\(\Rightarrow\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{c}{b}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BD}=\dfrac{c}{b}\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{ID}-\overrightarrow{IB}=\dfrac{c}{b}\left(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{ID}\right)\)

\(\Leftrightarrow b.\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{IC}=\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}\) (1)

Mặt khác:

\(\dfrac{ID}{IA}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{BD+CD}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}=\dfrac{a}{b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=-a.\overrightarrow{IA}\) (2)

(1); (2) \(\Rightarrow a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}-\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3.2^xlogx-12logx-2^x+4=0\left(1\right)\\5^x=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\) và \(5^x\ge m\) (\(x>0\))

Xét (1):

\(\Leftrightarrow3logx\left(2^x-4\right)-\left(2^x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3logx-1\right)\left(2^x-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=\sqrt[3]{10}\end{matrix}\right.\)

\(y=5^x\) đồng biến trên R nên (2) có tối đa 1 nghiệm

 Để pt đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt  ta có các TH sau:

TH1: (2) vô nghiệm \(\Rightarrow m\le0\) (ko có số nguyên dương nào)

TH2: (2) có nghiệm (khác với 2 nghiệm của (1)), đồng thời giá trị của m khiến cho đúng 1 nghiệm của (1) nằm ngoài miền xác định

(2) có nghiệm \(\Rightarrow m>0\Rightarrow x_3=log_5m\)

Do \(\sqrt[3]{10}>2\) nên bài toán thỏa mãn khi: \(x_1< x_3< x_2\)

\(\Rightarrow2< log_5m< \sqrt[3]{10}\)

\(\Rightarrow25< m< 5^{\sqrt[3]{10}}\) (hơn 32 chút xíu)

\(\Rightarrow\) \(32-26+1\) giá trị nguyên

a: \(\text{Δ}=\left(-4\right)^2-4\cdot2\cdot5\left(m-1\right)\)

\(=16-40\left(m-1\right)\)

\(=16-40m+40\)

=-40m+56

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3 thì

\(\left\{{}\begin{matrix}-40m+56>0\\\dfrac{4}{2}< 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-40m>-56\)

hay m<7/5

b: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 3 thì

\(\left\{{}\begin{matrix}-40m+56>0\\\dfrac{4}{2}>6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

Bài 1: 

a) Thay m=3 vào (1), ta được:

\(x^2-4x+3=0\)

a=1; b=-4; c=3

Vì a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{1}=3\)

Bài 2: 

a) Thay m=0 vào (2), ta được:

\(x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)

hay x=1

\(\Delta=2^2-4.1.\left(m-3\right)=4-4m+12=16-4m\)

phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\\ \Leftrightarrow16-4m>0\\ \Leftrightarrow m< 4\)

\(\Leftrightarrow1-2sin^2x+\left(2m-3\right)sinx+m-2=0\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x-\left(2m-3\right)sinx-m+1=0\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x+sinx-2\left(m-1\right)sinx-\left(m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sinx\left(2sinx+1\right)-\left(m-1\right)\left(2sinx+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2sinx+1\right)\left(sinx-m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=-\dfrac{1}{2}\\sinx=m-1\end{matrix}\right.\)

Pt có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng đã cho khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne-\dfrac{1}{2}\\-1\le m-1\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{1}{2}\\0\le m\le2\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(x^2-2x+m=0\)

Xét \(\Delta'=1-m\) . Đặt \(P=m\) , S = 2

Để pt có hai nghiệm dương phân biệt thì 

\(\begin{cases}\Delta'=1-m>0\\S=2>0\\P=m>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow0< m< 1\)

Vậy để pt có hai nghiệm dương phân biệt thì \(0< m< 1\)