Đề bài không sai, biểu thức vẫn phụ thuộc A

Phản ví dụ: với \(a=0\Rightarrow A=2\)

Với \(a=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow A=-13\)

Rõ ràng \(2\ne-13\)

Biểu thức đúng:

\(A=2\left(sin^6a+cos^6a\right)-3\left(sin^4a+cos^4a\right)\)

Đề bài không chính xác, biểu thức này vẫn phụ thuộc a

Đề bài đúng phải là: \(\sqrt{sin^4a+4cos^2a}+\sqrt{cos^4a+4sin^2a}\)

cái câu 1 kia lạ thật, phần phía trc có ngoặc thì phải nhân vs hạng tử nào đó chứ nhỉ? Và mk tính ra kq là \(-\cos^22\alpha\)

\(VT=\cos^4\alpha+\sin^4\alpha-2\cos^6\alpha-2\sin^6\alpha\)

\(=\sin^4\alpha\left(1-2\sin^2\alpha\right)-\cos^4\alpha\left(2\cos^2\alpha-1\right)\)

\(=\sin^4\alpha.\cos2\alpha-\cos^4\alpha.\cos2\alpha\)

\(=\cos2\alpha\left(\sin^2\alpha.\sin^2\alpha-\cos^4\alpha\right)\)

\(=\cos2\alpha.\left[\left(1-\cos^2\alpha\right)^2-\cos^4\alpha\right]\)

\(=\cos2\alpha.\left(1-2\cos^2\alpha\right)\)

\(=-\cos^22\alpha\)

2/ \(VT=\frac{1-\cos^2\alpha+\cos^2\alpha}{1+\sin2\alpha}=\frac{1}{1+\sin2\alpha}\)

\(VP=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1}=\frac{\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)

hmm, câu 2 có vẻ vô lí, bn thử nhân chéo lên mà xem, nó ko ra KQ = nhau đâu

1)

\((\cos^4a+\sin ^4a)-2(\cos^6a+\sin ^6a)=(\cos ^4a+\sin ^4a)-2(\cos ^2a+\sin ^2a)(\cos ^4a-\cos ^2a\sin ^2a+\sin ^4a)\)

\(=(\cos ^4a+\sin ^4a)-2(\cos ^4a-\cos ^2a\sin ^2a+\sin ^4a)\)

\(=-(\cos ^4a-2\sin ^2a\cos ^2a+\sin ^4a)=-(\cos ^2a-\sin ^2a)^2=-\cos ^22a\)

(bạn xem lại đề. Nếu thay $(\cos ^4a+\sin ^4a)$ thành $3(\cos ^4a+\sin ^4a)$ thì kết quả thu được là $(\cos ^2a+\sin ^2a)^2=1$ như yêu cầu)

2) Sửa đề:

\(\frac{\sin ^2a-\cos ^2a}{1+2\sin a\cos a}=\frac{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}{\sin ^2a+\cos ^2a+2\sin a\cos a}=\frac{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}{(\sin a+\cos a)^2}\)

\(=\frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a}=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}-1}{\frac{\sin a}{\cos a}+1}=\frac{\tan a-1}{\tan a+1}\)

Bạn lưu ý viết đề bài chuẩn hơn.

3)

\(\sin ^4a+\cos ^4a-\sin ^6a-\cos ^6a=\sin ^4a+\cos ^4a-[(\sin ^2a)^3+(\cos ^2a)^3]\)

\(=\sin ^4a+\cos ^4a-(\sin ^2a+\cos ^2a)(\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a)\)

\(=\sin ^4a+\cos ^4a-(\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a)\)

\(=\sin ^2a\cos ^2a\) (đpcm)

4)

\(\frac{\cos a}{1+\sin a}+\tan a=\frac{\cos a}{1+\sin a}+\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\cos ^2a+\sin^2a+\sin a}{\cos a(1+\sin a)}=\frac{1+\sin a}{\cos a(1+\sin a)}=\frac{1}{\cos a}\)

5)

\(\frac{\tan a}{1-\tan ^2a}.\frac{\cot ^2a-1}{\cot a}=\frac{\tan a}{(tan a\cot a)^2-\tan ^2a}.\frac{\cot ^2a-1}{\cot a}\)

\(=\frac{\tan a}{\tan ^2a(\cot ^2a-1)}.\frac{\cot ^2a-1}{\cot a}=\frac{1}{\tan a\cot a}=\frac{1}{1}=1\)

-----------------------------------

Mấu chốt của các bài này là bạn sử dụng 2 công thức sau:

1. \(\sin ^2x+\cos^2x=1\)

2. \(\tan x.\cot x=1\)

Để tính giá trị của sin^4(a) + cos^4(a), ta sử dụng công thức mở rộng (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Áp dụng công thức này cho sin^2(a) và cos^2(a), ta có: sin^4(a) + cos^4(a) = (sin^2(a) + cos^2( a))^2 - 2sin^2(a)cos^2(a) Vì theo công thức lượng giác cơ bản, sin^2(a) + cos^2(a) = 1, từ đó ta có: sin^ 4(a) + cos^4(a) = 1 - 2sin^2(a)cos^2(a) Tuy nhiên, trong bài toán này, ta biết cos(4a) = 1/4. Sử dụng công thức lượng giác: cos(4a) = cos^2(2a) - sin^2(2a) = 1/4 Ta biến đổi biểu thức này để tìm giá trị của sin^2(2a)cos^2( 2a): cos^2(2a) - sin^2(2a) = 1/4 cos^2(2a) - (1 - cos^2(2a)) = 1/4 2cos^2(2a) - 1 = 1/4 cos^2(2a) = 5/8 Thay giá trị này vào biểu thức trước đó: sin^4(a) + cos^4(a) = 1 - 2sin^2(a)cos^2(a) = 1 - 2sin ^2(a)(5/8) = 1 - 5/4sin^2 (a) Tiếp theo, để tính giá trị của sin^6(a) + cos^6(a), ta nhận thấy rằng (sin^2(a))^3 + (cos^2(a))^3 tương đương với công thức mở rộng (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Thay a = sin^2(a) và b = cos^2(a), ta có: (sin^2(a))^3 + (cos^2(a))^3 = (sin^2(a) ) + cos^2(a))(sin^4(a) - sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a)) = (sin^2(a) + cos^2 ( a))(1 - 5/4sin^2(a)) Vì sin^2(a) + cos^2(a) = 1 nên ta có: (sin^2(a))^3 + (cos^2 (a))^3 = 1 - 5/4sin^2(a) Do đó, giá trị của sin^6(a) + cos^6(a) là 1 - 5/4sin^2(a). Tóm lại, giá trị của sin^4(a) + cos^4(a) là 1 - 5/4sin^2(a) và giá trị của sin^6(a) + cos^6(a) là 1 - 5/4sin^2(a).

Áp dụng các HĐT \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab\\a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(sin^2x\right)^2+\left(cos^2x\right)^2-\left[\left(sin^2x\right)^3+\left(cos^2x\right)^3\right]\)

\(=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2x.cos^2x-\left[\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\right]\)

\(=1-2sin^2x.cos^2x-1+3sin^2x.cos^2x\)

\(=sin^2x.cos^2x\)

\(A=2\cos^4\alpha-\sin^4\alpha+\sin^2\alpha.\cos^2\alpha+3\sin^4\alpha+3\cos^2\alpha.\sin^2\alpha\)

\(A=2\sin^4\alpha+2\cos^4\alpha+4\sin^2\alpha.\cos^2\alpha\)

\(A=2\left[\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2-2\sin^2\alpha.\cos^2\alpha\right]+4\cos^2\alpha\sin^2\alpha=2\)

A = 2(1 - sin²α)² - sin⁴α + sin²α (1-sin²α) + 3sin²α

=2 - 4sin²α + 2sin⁴α - sin⁴α + sin²α - sin⁴α + 3sin²α

= 2

Lời giải:

a)

\(\frac{\cos (a-b)}{\cos (a+b)}=\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}=\frac{\frac{\cos a\cos b}{\sin a\sin b}+1}{\frac{\cos a\cos b}{\sin a\sin b}-1}=\frac{\cot a\cot b+1}{\cot a\cot b-1}\)

b)

\(2(\sin ^6a+\cos ^6a)+1=2(\sin ^2a+\cos ^2a)(\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a)+1\)

\(=2(\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a)+1\)

\(=3(\sin ^4a+\cos ^4a)-(\sin ^4a+\cos ^4a+2\sin ^2a\cos ^2a)+1\)

\(=3(\sin ^4a+\cos ^4a)-(\sin ^2a+\cos ^2a)^2+1\)

\(=3(\sin ^4a+\cos ^4a)-1^2+1=3(\sin ^4a+\cos ^4a)\)

c)

\(\frac{\tan a-\tan b}{cot b-\cot a}=\frac{\tan a-\tan b}{\frac{1}{\tan b}-\frac{1}{\tan a}}\) (nhớ rằng \(\tan x.\cot x=1\rightarrow \cot x=\frac{1}{\tan x}\) )

\(=\frac{\tan a-\tan b}{\frac{\tan a-\tan b}{\tan a\tan b}}=\tan a\tan b\)

d)

\((\cot x+\tan x)^2-(\cot x-\tan x)^2=(\cot ^2x+\tan ^2x+2\cot x\tan x)-(\cot ^2x-2\cot x\tan x+\tan ^2x)\)

\(=4\cot x\tan x=4.1=4\)

e)

\(\frac{\sin ^3a+\cos ^3a}{\sin a+\cos a}=\frac{(\sin a+\cos a)(\sin ^2a-\sin a\cos a+\cos ^2a)}{\sin a+\cos a}\)

\(=\sin ^2a-\sin a\cos a+\cos ^2a=(\sin ^2a+\cos ^2a)-\sin a\cos a=1-\sin a\cos a\)

Vậy ta có đpcm.

b: \(B=sin^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)+cos^2x\)

\(=sin^2x+cos^2x=1\)

c: \(=cos^2x\left(cos^2x+sin^2x\right)+cos^2x\)

=cos^2x+cos^2x

=2*cos^2x có phụ thuộc vào x nha bạn