b) Áp dụng bđt Svac-xơ:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}+\dfrac{16}{z}\ge\dfrac{\left(1+3+4\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{64}{4}=16>9\)

=> hpt vô nghiệm

c) Ở đây x,y,z là các số thực dương

Áp dụng cosi: \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{3}=1\)

tham khảo

https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=165107&q=1%2Fx%201%2F%28y%20z%29%3D1%2F3%20%201%2Fy%201%28z%20x%29%3D1%2F4%20%201%2Fz%201%2F%28x%20y%29%3D1%2F5%20%20gi%E1%BA%A3i%20h%E1%BB%87%20ph%C6%B0%C6%A1ng%20tr%C3%ACnh%20%E1%BA%A1%20m%E1%BB%8Di%20ng%C6%B0%E1%BB%9Di%20gi%E1%BA%A3i%20d%C3%B9m%20em%20v%E1%BB%9Bi%20%E1%BA%A1#:~:text=2020%20l%C3%BAc%2013%3A53-,%E2%87%94,2,-%E2%87%92y%3D23

Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại

Với pt sau:

Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm

Với \(x;y;z\ne0\)

Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)

Ta có \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(yz\right)^2+\left(xz\right)^2+\left(xy\right)^2+2xyz}{\left(xyz\right)^2}=1\)

<=> (xy)² + (yz)² + (zx)² + 2xyz = (xyz)² 

<=> (xy)² + (yz)² + (xz)² + 2xyz(x + y + z) = (xyz)² 

<=> (xy + yz + zx)² = (xyz)² 

<=> \(\left[{}\begin{matrix}xy+yz+zx=xyz\\xy+yz+zx=-xyz\end{matrix}\right.\)

+) Khi xy + yz + zx = -xyz 

=> \(\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=-1< 0\left(\text{loại}\right)\)

=> xy + yz + zx = xyz 

<=> \(xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=xyz\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-1\right)=0\)

<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)

<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)

<=> \(\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right)z}\)

<=> \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{xz+yz+z^2}+\dfrac{1}{xy}\right)=0\)

<=> \(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(zx+yz+z^2\right)xy}=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)

Khi x = -y => y = 1 => P = 1

Tương tự y = -z ; z = -x được P = 1

Vậy P = 1 

Lời giải:
$x,y,z>0$ thì $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ mới xác định.

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$. Thay vào pt $(2)$:

$x^3=x^2+x+2$

$\Leftrightarrow x^3-x^2-x-2=0$

$\Leftrightarrow x^2(x-2)+x(x-2)+(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x-2)=0$
Dễ thấy $x^2+x+1>0$ với mọi $x>0$ nên $x-2=0$

$\Rightarrow x=2$
Vậy hpt có nghiệm $(x,y,z)=(2,2,2)$

\(ĐK:x\ne-1;y\ne2\\ HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y}{2-y}=-1\\\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{2y}{2-y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0y=-2\left(vn\right)\\\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{2y}{2-y}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x,y\in\varnothing\)

Đặt x/x+1=a

y/2-y=b

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2b=1\\a+b=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-1\\a=2-b=2-\left(-1\right)=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3x+3\\y=y-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(x,y\right)\in\varnothing\)