Với a,b,c,d dương. Chứng minh rằng F = \(\dfrac{a}{b+c}\) \(+\) \(\dfrac{b}{c+d}\) \(+\) \(\dfrac{c}{d+a}\)\(+\) \(\dfrac{d}{a+b}\)
Cho các số hữu tỉ \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\) với mẫu dương, trong đó \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) . Chứng minh rằng :
\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)
`a/b<(a+c)/(b+d)`
`<=>a(b+d)<b(a+c)`
`<=>ab+ad<ad<bc`
`<=>ad<bc`
`<=>a/b<c/d`(theo giả thiết)
`(a+c)/(b+d)<c/d`
`<=>d(a+c)<c(b+d)`
`<=>ad+cd<bc+dc`
`<=>ad<bc`
`<=>a/b<c/d`(theo giả thiết)`
`=>a/b<(a+c)/(b+d)<c/d`
Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}\ge\dfrac{a-d}{a+b}\)
Cho các số hữu tỉ \(\dfrac{a}{b}\)và\(\dfrac{c}{d}\) với mẫu dương, trong đó \(\dfrac{a}{b}\)<\(\dfrac{c}{d}\). Chứng minh rằng:
A) ad<bc
B) \(\dfrac{a}{b}\)<\(\dfrac{a+c}{b+d}\)< \(\dfrac{c}{d}\)
a) \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)
b) Tham khảo:https://olm.vn/hoi-dap/tim-kiem?q=cho+c%C3%A1c+s%E1%BB%91+h%E1%BB%AFu+t%E1%BB%89+a/b+v%C3%A0+c/d+v%E1%BB%9Bi+m%E1%BA%ABu+d%C6%B0%C6%A1ng+,+trong+%C4%91%C3%B3+a/b+%3Cc/d+.+c/m+r%E1%BA%B1ng+a)+a.d+%3Cb.c+b)+a/b+%3C+(a+c)/(b+d)%3Cc/d+&id=174343
a) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\\b,d>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}.bd< \dfrac{c}{d}.bd\Rightarrow ad< bc\)
b) Ta có: \(ad< bc\Rightarrow ad+ab< bc+ab\)
\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)(do \(b,d>0\))
\(bc>ad\Rightarrow bc+cd>ad+cd\)
\(\Rightarrow c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\Rightarrow\dfrac{c}{d}>\dfrac{a+c}{b+d}\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)
cho 4 số dương a, b, c, d. chứng minh \(\dfrac{a+b}{b+c+d}+\dfrac{b+c}{c+d+a}+\dfrac{c+d}{d+a+b}+\dfrac{d+a}{a+b+c}\ge\dfrac{8}{3}\)
Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}}>2\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM dạng ngược dấu (\(ab\leq (\frac{a+b}{2})^2\) )ta có:
\(\frac{b+c+d}{a}.1\leq \left(\frac{\frac{b+c+d}{a}+1}{2}\right)^2=\frac{(a+b+c+d)^2}{4a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c+d}\geq \frac{4a^2}{(a+b+c+d)^2}\)\(\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{b}{c+d+a}}\geq \frac{2b}{a+b+c+d}\\ \sqrt{\frac{c}{d+a+b}}\geq \frac{2c}{a+b+c+d}\\ \sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq \frac{2d}{a+b+c+d}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế: \(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2a+2b+2c+2d}{a+b+c+d}=2\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{b+c+d}{a}=\frac{c+d+a}{b}=\frac{d+a+b}{c}=\frac{a+b+c}{d}=1\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+d=0\) (VL do $a,b,c,d$ dương)
Do đó dấu bằng không xảy ra .
Hay \(\text{VT}>2\) (đpcm)
Chứng minh rằng : Nếu \(\dfrac{a}{b}\)=\(\dfrac{c}{d}\) thì
a.\(\dfrac{a}{c}\)=\(\dfrac{b}{d}\) b.\(\dfrac{a}{b}\)=\(\dfrac{a+c}{b+c}\) c.\(\dfrac{a}{c}\)=\(\dfrac{a-b}{c-d}\) d.\(\dfrac{a+b}{c+d}\)=\(\dfrac{a-b}{c-d}\)
a: Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
nên \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
d: Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
nên \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\)
hay \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}\)
Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
nên \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)
hay \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{a-b}{c-d}\)
cho \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}\) chứng minh rằng \(\dfrac{a^4}{b^4}=\dfrac{a}{f}\)
Ta có: \(\dfrac{a^4}{b^4}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}\)
\(=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{c}\cdot\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{e}{f}\)
\(=\dfrac{a}{f}\)
Cho các số dương a,b,c,d. Chứng minh :
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge2\)
Bài làm :
Ta có : \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT (1) ta có :
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{c}{d+a}=\dfrac{a^2+ad+bc+c^2}{\left(b+c\right)\left(d+a\right)}\ge\dfrac{4\left(a^2+ad+bc+c^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\left(2\right)\)
Tương tự : \(\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{4\left(b^2+ab+cd+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\left(3\right)\)
Cộng các về của các BĐT (2) và (3) ta được :
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{2\left(2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2ad+2bc+2ab+2cd\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{2[\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(a+d\right)^2]}{\left(a+b+c+d\right)^2}=2B\)
Ta dễ dàng chứng minh được : \(B\ge1\)
Thật vậy :
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(a+d\right)^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(d+a\right)^2\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Dấu đằng thức xảy ra : \(\Leftrightarrow a=c;b=d\)
Cho \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\) với ( với a, b, c, d khác 0, và c \(\ne\pm d\) ). Chứng minh rằng hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\) ?
Cho \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\) với ( với a, b, c, d khác 0, và c \(\ne\pm d\) ). Chứng minh rằng hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\) ?