Hummmm

Dạ em không biết ạ,tại vì em mới học lớp 4 ạ,em xin lỗi ạ

Hệ \(\Leftrightarrow x+1+3x-1+3\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(3x-1\right)}\left(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x-1}\right)=x-1\)

\(\Leftrightarrow3x+1+3\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(3x-1\right)\left(x-1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow3x+1=-3\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(3x-1\right)\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow27x^3+9x+27x^2+1=-27\left(x^2-1\right)\left(3x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow27x^3+9x+27x^2+1+81x^3-81x-27x^2+27=0\)

\(\Leftrightarrow108x^3-72x+28=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{27}=0\)

- AD công thức các đa nô :

\(\Rightarrow x=\sqrt[3]{-\dfrac{-\dfrac{2}{3}}{2}+\sqrt{\dfrac{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2}{4}+\dfrac{\left(\dfrac{7}{27}\right)^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{-\dfrac{2}{3}}{2}-\sqrt{\dfrac{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2}{4}+\dfrac{\left(\dfrac{7}{27}\right)^3}{27}}}\)

\(\Rightarrow x\approx-0,96685\)

Bài 1: ĐKXĐ: $2\leq x\leq 4$
PT $\Leftrightarrow (\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})^2=2$

$\Leftrightarrow 2+2\sqrt{(x-2)(4-x)}=2$
$\Leftrightarrow (x-2)(4-x)=0$

$\Leftrightarrow x-2=0$ hoặc $4-x=0$

$\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=4$ (tm)

Bài 2:
PT $\Leftrightarrow 4x^3(x-1)-3x^2(x-1)+6x(x-1)-4(x-1)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(4x^3-3x^2+6x-4)=0$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $4x^3-3x^2+6x-4=0$

Với $4x^3-3x^2+6x-4=0(*)$

Đặt $x=t+\frac{1}{4}$ thì pt $(*)$ trở thành:
$4t^3+\frac{21}{4}t-\frac{21}{8}=0$

Đặt $t=m-\frac{7}{16m}$ thì pt trở thành:

$4m^3-\frac{343}{1024m^3}-\frac{21}{8}=0$
$\Leftrightarrow 4096m^6-2688m^3-343=0$

Coi đây là pt bậc 2 ẩn $m^3$ và giải ta thu được \(m=\frac{\sqrt[3]{49}}{4}\) hoặc \(m=\frac{-\sqrt[3]{7}}{4}\)

Khi đó ta thu được \(x=\frac{1}{4}(1-\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49})\)

Nãy mình tìm được một cách giải tương tự cho câu 2.

PT \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x^3-3x^2+6x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\4x^3-3x^2+6x-4=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có 1 nghiệm bằng 1.

\(\left(1\right)\Rightarrow8x^3-6x^2+12x-8=0\)

\(\Leftrightarrow7x^3+x^3-6x^2+12x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^3=-7x^3\)

\(\Leftrightarrow x-2=-\sqrt[3]{7}x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{7}}\)

Vậy pt có nghiệm \(S=\left\{1;\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{7}}\right\}\)

Lưu ý: Nghiệm của người kia hoàn toàn tương đồng với nghiệm của mình (\(\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{7}}=\dfrac{1}{4}\left(1-\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49}\right)\))

\(\sqrt{x-4\sqrt{x-1}+3}+\sqrt{x-6\sqrt{x-1}+8}=1\\ < =>\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}.2+4}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}.3+9}=1\\ < =>\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-3\right)^2}=1\)ĐK: x>=1

\(< =>|\sqrt{x-1}-2|+|\sqrt{x-1}-3|=1\\ < =>\left(\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|\sqrt{x-1}-3\right|\right)^2=1\\ < =>\sqrt{x-1}-2+2\left|\left(\sqrt{x-1}-2\right)\left(\sqrt{x-1}-3\right)\right|+\sqrt{x-1}-3=1\\ < =>2\sqrt{x-1}-5+2\left|x+5-5\sqrt{x-1}\right|=1\\ < =>2\left|x+5-5\sqrt{x-1}\right|=6-2\sqrt{x-1}\\ < =>\left|x+5-5\sqrt{x-1}\right|=3-\sqrt{x-1}\)

\(< =>\left[{}\begin{matrix}x+5-5\sqrt{x-1}=3-\sqrt{x-1}\left(1\right)\\x+5-5\sqrt{x-1}=\sqrt{x-1}-3\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải (1): \(x+5-5\sqrt{x-1}=3-\sqrt{x-1}\\ < =>x+2-4\sqrt{x-1}=0\\ < =>x-1-2\sqrt{x-1}.2+4=1\\ < =>\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2=1\\ < =>\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}-2=1\\\sqrt{x-1}-2=-1\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x=8\\x=0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Giải (2) cũng ra x=8

ĐKXĐ: x>=1

\(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\dfrac{1}{2}\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}=\dfrac{1}{2}\left(x+3\right)\)

=>\(\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=\dfrac{1}{2}\left(x+3\right)\)

=>\(\sqrt{x-1}+1+\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\dfrac{1}{2}\left(x+3\right)\)

TH1: \(x>=2\)

PT sẽ tương đương với \(\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=\dfrac{1}{2}\left(x+3\right)\)

=>\(2\sqrt{x-1}=\dfrac{1}{2}\left(x+3\right)\)

=>\(4\sqrt{x-1}=x+3\)

=>\(\sqrt{16x-16}=x+3\)

=>x>=-3 và (x+3)^2=16x-16

=>x>=-3 và x^2+6x+9-16x+16=0

=>x>=-3 và x^2-7x+25=0

=>Loại

TH2: 1<=x<2

PT sẽ là \(\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=\dfrac{1}{2}\left(x+3\right)\)

=>1/2(x+3)=2

=>x+3=4

=>x=1(nhận)

Bài 1:

Đặt \(\hept{\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}}\) hpt thành:

\(\hept{\begin{cases}S^2-P=3\\S+P=9\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S^2-P=3\\S=9-P\end{cases}}\Leftrightarrow\left(9-P\right)^2-P=3\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}P=6\Rightarrow S=3\\P=13\Rightarrow S=-4\end{cases}}\).Thay 2 trường hợp S và P vào ta tìm dc

\(\hept{\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}}\)và\(\hept{\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}}\)

Câu 3: ĐK: \(x\ge0\)

Ta thấy \(x-\sqrt{x-1}=0\Rightarrow x=\sqrt{x-1}\Rightarrow x^2-x+1=0\) (Vô lý), vì thế \(x-\sqrt{x-1}\ne0.\)

Khi đó \(pt\Leftrightarrow\frac{3\left[x^2-\left(x-1\right)\right]}{x+\sqrt{x-1}}=x+\sqrt{x-1}\Rightarrow3\left(x-\sqrt{x-1}\right)=x+\sqrt{x-1}\)

\(\Rightarrow2x-4\sqrt{x-1}=0\)

Đặt \(\sqrt{x-1}=t\Rightarrow x=t^2+1\Rightarrow2\left(t^2+1\right)-4t=0\Rightarrow t=1\Rightarrow x=2\left(tm\right)\)

Câu 3 :

ĐKXĐ : \(x\ge1\)

\(3\left(x^2-x+1\right)=\left(x+\sqrt{x-1}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\left[x^2-\left(x-1\right)\right]=\left(x+\sqrt{x-1}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-\sqrt{x-1}\right)\left(x+\sqrt{x-1}\right)=\left(x+\sqrt{x-1}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x-1}\right)\left(x+\sqrt{x-1}-3x+3\sqrt{x-1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)\left(4\sqrt{x-1}-2x\right)=0\)

Tới đây thì dễ rồi ^^

Đặt căn x=a; căn 1-x=b

Theo đề, ta có: a+b=1+2/3ab

=>3a+3b=3+2ab

=>3a+3b-2ab=3

=>a(3-2b)+3b-4,5=-1,5

=>-a(2b-3)+3(b-1,5)=-1,5

=>-2a(b-1,5)+3(b-1,5)=-1,5

=>(-2a+3)(b-1,5)=-1,5

=>(2a-3)(b-1,5)=1,5

=>(2a-3)(2b-3)=3

=>(2a-3;2b-3) thuộc {(1;3); (3;1);(-1;-3); (-3;-1)}

=>(a,b) thuộc {(2;3); (3;2); (1;0); (0;1)}

TH1: a=2; b=3

=>căn x=2 và căn 1-x=3

=>x=4 và 1-x=9

=>Loại

TH2: a=3 và b=2

=>căn x=3 và căn 1-x=2

=>x=9 và 1-x=4(loại)

TH3: a=1 và b=0

=>x=1 và 1-x=0

=>x=1

TH4: a=0 và b=1

=>x=0 và 1-x=1

=>x=0

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le3\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{\sqrt{x+1}\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\right)}{2\left(x-1\right)}>x-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+1+\sqrt{-x^2+2x+3}}{x-1}>2x-1\)

- TH1: Với \(x>1\) BPT tương đương:

\(x+1+\sqrt{-x^2+2x+3}>\left(2x-1\right)\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-x^2+2x+3}>2x^2-4x\)

Đặt \(\sqrt{-x^2+2x+3}=t\ge0\Rightarrow2x^2-4x=-2t^2+6\)

BPt trở thành: \(t>-2t^2+6\Leftrightarrow2t^2+t-6>0\)

\(\Rightarrow t>\dfrac{3}{2}\Rightarrow-x^2+2x+3>\dfrac{9}{4}\Rightarrow1< x< \dfrac{2+\sqrt{7}}{2}\)

TH2: với \(x< 1\) BPT tương đương:

\(x+1+\sqrt{-x^2+2x+3}< \left(2x-1\right)\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-x^2+2x+3}< 2x^2-4x\)

Tương tự như trên, đặt  \(t=\sqrt{-x^2+2x+3}\ge0\) ta được \(0\le t< \dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow-x^2+2x+3< \dfrac{9}{4}\) \(\Rightarrow-1\le x< \dfrac{2-\sqrt{7}}{2}\)

Vậy nghiệm của BPT là: \(\left[{}\begin{matrix}-1\le x< \dfrac{2-\sqrt{7}}{2}\\1< x< \dfrac{2+\sqrt{7}}{2}\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(x\ge1\)

Ta có:

\(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\dfrac{x+3}{2}\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=\dfrac{x+3}{2}\\ \Leftrightarrow\sqrt{x-1}+1+\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\dfrac{x+3}{2}\\ \Leftrightarrow\sqrt{x-1}+\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\dfrac{x+1}{2}\left(1\right)\)

Ta xét 2 trường hợp sau:

TH1: \(x\ge2\)

Khi đó:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}-1=\dfrac{x+1}{2}\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x-1}=\dfrac{x+3}{2}\\ \Leftrightarrow16\left(x-1\right)=x^2+6x+9\\ \Leftrightarrow x^2-10x+25=0\\ \Leftrightarrow\left(x-5\right)^2=0\\ \Leftrightarrow x=5\left(TMĐK\right)\)

TH2: \(1\le x< 2\)

Khi đó:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow1=\dfrac{x+1}{2}\Leftrightarrow x=1\left(TMĐK\right)\)

Vậy x=1 hoặc x=5