Để chứng minh 1) AE = AN, ta sẽ sử dụng định lí hai đường trung bình của tam giác.Theo định lí hai đường trung bình, AM là đường trung bình của tam giác ABC.Vì vậy, ta có AM = 1/2(AB + AC).Đồng thời, ta cũng có AN là đường trung bình của tam giác ADC.Từ đó, ta có AN = 1/2(AD + AC).Do đó, để chứng minh AE = AN, ta cần chứng minh AE = 1/2(AB + AD).Ta biết rằng AE là đường cao của tam giác ABC với cạnh AB.Vì vậy, ta có AE = √(AB^2 - AM^2) (với AM là đường trung bình của tam giác ABC)Tương tự, ta biết rằng AN là đường cao của tam giác ADC với cạnh AD.Vì vậy, ta cũng có AN = √(AD^2 - AM^2) (với AM là đường trung bình của tam giác ADC)

Sửa đề: Cắt CD tại E

1: Sửa đề: Chứng minh AE=AM

góc BAM+góc DAM=90 độ

góc DAM+góc EAD=90 độ

=>góc BAM=góc EAD

Xét ΔBAM vuông tại B và ΔDAE vuông tại D có

AB=AD

góc BAM=góc DAE

=>ΔBAM=ΔDAE
=>AM=AE

2: 1/AM^2+1/AN^2

=1/AE^2+1/AN^2

ΔAEN vuông tại A có AD là đường cao

nên 1/AE^2+1/AN^2=1/AD^2=1/AB^2

=>1/AB^2=1/AM^2+1/AN^2

Qua đỉnh A vẽ \(AK\perp AI\).

Ta có : \(\widehat{KAD}+\widehat{DAM}=\widehat{BAM}+\widehat{MAD}=90^O\)

\(\Rightarrow\widehat{KAD}=\widehat{BAM}\)

Xét \(\Delta KADvà\Delta MAB\) lần lượt vuông tại D và B , có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{KDA}=\widehat{ABM}=90^0\\AD=AB\left(gt\right)\\\widehat{KAD}=\widehat{BAM}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\Delta KAD=\Delta MAB\left(cgv-gnk\right)\)

\(\Rightarrow AK=MA\)

Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta AKI\) vuông tại A có :

\(\dfrac{1}{AK^2}+\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{a^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{a^2}\)

a: Xét hình thang ABCD có MN//AB//CD

nên AM/MN=BN/NC

=>AM/AD=BN/BC(1)

Xét ΔADC có MO//DC

nên MO/DC=AM/AB(2)

Xét ΔBDC có ON//DC

nên ON/DC=BN/BC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MO=ON(đpcm)

b:

Để \(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{2}{MN}\) thì \(\dfrac{MN}{AB}+\dfrac{MN}{CD}=2\)

MN=2ON=2OM

\(\dfrac{2OM}{AB}+\dfrac{2ON}{CD}=2\left(\dfrac{OM}{AB}+\dfrac{ON}{CD}\right)\)

mà OM/AB=DO/DB

và ON/CD=BO/BD

nên \(VT=2\cdot\left(\dfrac{DO}{DB}+\dfrac{BO}{DB}\right)=2\left(đpcm\right)\)

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

=>ΔABH=ΔACH

b: góc DAH=góc HAC=góc DHA

=>ΔDAH cân tại D

=>góc DHB=góc DBH

=>DH=DB=DA
=>D là trung điểm của AB

=>DH=1/2AB

Cậu tham khảo:

Em tham khảo bài này đi, a dốt toán lắm ;v

refer

Xét ΔCBE có AM//BE

nên \(\dfrac{AM}{BE}=\dfrac{CM}{CB}\)

Xét ΔBDC có AM//DC

nên \(\dfrac{AM}{DC}=\dfrac{BM}{BC}\)

\(\dfrac{AM}{BE}+\dfrac{AM}{DC}=\dfrac{BM}{BC}+\dfrac{CM}{BC}\)

=>\(AM\left(\dfrac{1}{BE}+\dfrac{1}{DC}\right)=\dfrac{BC}{BC}=1\)

=>\(\dfrac{1}{AM}=\dfrac{1}{BE}+\dfrac{1}{CD}\)

b: Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AP cắt BC tại N

Xét ΔABN và ΔADP có

góc B=góc D=90 độ

góc BAN=góc DAP

=>ΔABN đồng dạng với ΔADP

=>AB/AD=AN/AP=1/3

=>AN=1/3AP

ΔANM vuông tại N có AB là đường cao

nen 1/AB^2=1/AM^2+1/AN^2=1/AM^2+9/AP^2