Dễ thấy: \(a,b,c\) là 3 nghiệm của pt

\(\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)=x^3-6x^2+9x+m\left(m=-abc\right)\)

Đặt \(f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+m\)

\(f'\left(x\right)=3x^2-12x+9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

\(f\left(x\right)\) có cực đại tại \(x=1\); cực tiểu tại \(x=3\Rightarrow a< 1< b< 3< c\left(1\right)\)

Vì \(f\left(x\right)\) có 3 nghiệm \(a,b,c\) khác nhau (với hệ số của \(x^3>0)\), nên \(f_{max}>0;f_{min}< 0\)

\(f_{max}=f\left(1\right)=1-6+9+m=m+4>0\Rightarrow m>-4\)

\(f_{min}=f\left(3\right)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot3+m< 0\Rightarrow m< 0\)

\(f\left(4\right)=4^3-6\cdot4^2+9\cdot4^2+m=m+4\). Do \(m>-4\)\(\Rightarrow f\left(4\right)>0\)

Mà trong khoảng \(\left(3;+\infty\right)\) hàm \(f(x) \) đồng biến, và \(f(c)=0;f(4)>0\) suy ra \(c<4(2)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(0< a< b< c\) ta có ĐPCM

Tuấn Anh Phan Nguyễn ; Nguyễn Huy Tú ; Ace Legona giúp với !

3 ( a - 1 ) ( a - 3 ) - ( a - b ) ( a - c ) = 0
3 ( b - 1 ) ( b - 3 ) - ( b - a ) ( b - c ) = 0
3 ( c - 1 ) ( c - 3 ) - ( c -a ) ( c - b ) = 0
3 ( a - 1 ) ( a - 3 ) - ( a - b ) ( a - c ) = 0
⇔ 3a² - 12a + 9 - a² - bc + ab + ca = 0
⇔ 2a² - 12a + ( 9 - bc ) + ( ab + ca ) = 0
⇔ 2a ( a - 6 ) + ( ab + ca ) + ( ab + ca ) = 0
⇔ 2a ( - b - c ) + 2a ( b + c ) = 0 ( đúng )
Như vậy:
3( a - 1 ) ( a - 3 ) = ( a - b ) ( a - c )
3( b - 1 ) ( b - 3 ) = ( b - a ) ( b - c )
3( c - 1 ) ( c - 3 ) = ( c - a ) ( c - b )
Mà a < b < c nên (a - b)(a - c) > 0 ; (b - a)(b - c) < 0 và (c - a)(c - b) > 0
Do đó:
( a - 1 ) ( a - 3 ) > 0
( b - 1 ) ( b - 3 ) < 0
( c - 1 ) ( c - 3 ) > 0
Suy ra:
a < 1 hoặc a > 3
1 < b < 3
c < 1 hoặc c > 3
Mặt khác:
a < b < c nên:
3a < a + b + c = 6 < 3c ⇒ a < 2 < c
Kết hợp với kết quả ở trên được:
a < 1 < b < 3 < c
Bây giờ ta sẽ chứng minh a > 0 và c < 4.
Ta cũng có các hằng đẳng thức sau:
a ( a - 3 ) - ( 3 - b ) ( 3 - b ) = 0 ( 1 )
và ( c - 1 ) ( c - 4 ) - ( 1 - a ) ( 1 - b ) ( 2 )
Như vậy:
a ( a - 3 ) = ( 3 - b ) ( 3 - c )
( c - 1 ) ( c - 4 ) = ( 1 - a ) ( 1 - b )
Mà ( 3 - b ) ( 3 - c ) < 0 ( do b < 3 < ) và ( 1 - a ) ( 1 - b ) < 0 ( do a < 1 < b ) nên:
a ( a - 3 ) < 0
( c - 1 )( c - 4 ) < 0
hay:
0 < a < 3 và 1 < c < 4
Kết hợp với cm trên ta đc: 0 < a < 1 < b < 3 < c < 4 • ( điều phải chứng minh )

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^4+y^4=34\\y=2-x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^4+\left(x-2\right)^4=34\)

Đặt \(x-1=t\)

\(\Rightarrow\left(t+1\right)^4+\left(t-1\right)^4=34\)

\(\Leftrightarrow t^4+6t^2-16=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t^2=2\\t^2=-8\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\sqrt{2}\Rightarrow x=\sqrt{2}+1\Rightarrow y=1-\sqrt{2}\\t=-\sqrt{2}\Rightarrow x=1-\sqrt{2}\Rightarrow y=1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

b.

\(\left\{{}\begin{matrix}xy^2-x^2y+6x-y^2-y-6=0\\x^2y-xy^2+6y-x^2-x-6=0\end{matrix}\right.\) (1)

Lần lượt cộng 2 vế và trừ 2 vế ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}-x^2-y^2+5x+5y-12=0\\2xy\left(y-x\right)+7\left(x-y\right)+\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-5\left(x+y\right)+12=0\\\left(y-x\right)\left(2xy-x-y-7\right)=0\end{matrix}\right.\)

Th1: \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x^2+y^2-5\left(x+y\right)+12=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2x^2-10x+12=0\Rightarrow...\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}2xy-\left(x+y\right)-7=0\\x^2+y^2-5\left(x+y\right)+12=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2xy-\left(x+y\right)-7=0\\\left(x+y\right)^2-2xy-5\left(x+y\right)+12=0\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=u\\xy=v\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2v-u-7=0\\u^2-2v-5u+12=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u^2-6u+5=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

Ta có: 

\(4\le\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\le\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+1}{2}+\dfrac{b+1}{2}+1\)

\(=a+b+2\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\ge2\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=1\).

Lời giải:
a)

Đặt \(\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=z-1=k\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=4k+12\\ y=3k+9\\ z=k+1\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(3x+5y-z=2\)

\(\Leftrightarrow 3(4k+12)+5(3k+9)-(k+1)=2\)

$\Rightarrow k=-3$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=4k+12=0\\ y=3k+9=0\\ z=k+1=-2\end{matrix}\right.\)

b)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{7}=\frac{a+c}{8}=\frac{a+b+b+c+c+a}{6+7+8}=\frac{2(a+b+c)}{21}=\frac{2.14}{21}=\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=8\\ b+c=\frac{28}{3}\\ c+a=\frac{32}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=8\\ b+c=\frac{28}{3}\\ c+a=\frac{32}{3}\\ a+b+c=14\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=6\\ a=\frac{14}{3}\\ b=\frac{10}{3}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:
a)

Đặt \(\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=z-1=k\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=4k+12\\ y=3k+9\\ z=k+1\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(3x+5y-z=2\)

\(\Leftrightarrow 3(4k+12)+5(3k+9)-(k+1)=2\)

$\Rightarrow k=-3$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=4k+12=0\\ y=3k+9=0\\ z=k+1=-2\end{matrix}\right.\)

b)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{7}=\frac{a+c}{8}=\frac{a+b+b+c+c+a}{6+7+8}=\frac{2(a+b+c)}{21}=\frac{2.14}{21}=\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=8\\ b+c=\frac{28}{3}\\ c+a=\frac{32}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=8\\ b+c=\frac{28}{3}\\ c+a=\frac{32}{3}\\ a+b+c=14\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=6\\ a=\frac{14}{3}\\ b=\frac{10}{3}\end{matrix}\right.\)

2: Điểm rơi... đẹp!

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+4\ge4b\\c^2+9\ge6c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+14\ge2\left(a+2b+3c\right)=28\).

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge14\).

Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2; c = 3.

1: Ta có \(y^2\ge6-x+x-2=4\Rightarrow y\ge2\). 

Đẳng thức xảy ra khi x = 6 hoặc x = 2

\(y^2\le2\left(6-x+x-2\right)=8\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = 4.

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}4x+y+2z=4\\3x+6y-2z=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(4x+y+2z\right)+\left(3x+6y-2z\right)=4+6=10\)

\(\Leftrightarrow7x+7y=10\)

\(\Leftrightarrow x+y=\dfrac{10}{7}\)

Do x, y nguyên dương nên không có x, y, z thoả mãn đề bài.

• Vì a, b, c đều dương và a + b + c = 2

nên \(0< a,b,c< 2\)

• Theo gt, ta có:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=2-a\\\left(b+c\right)^2-2bc=2-a^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2-a\right)^2-2+a^2=2bc\)

\(\Rightarrow bc=\dfrac{\left(4-4a+a^2\right)-2+a^2}{2}=\dfrac{2a^2-4a+2}{2}=\left(a-1\right)^2\)

\(\Rightarrow b^2c^2=\left(a-1\right)^4\)

• Ta lại có: \(a\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}=a\sqrt{\dfrac{1+b^2+c^2+b^2c^2}{1+a^2}}\)

\(=a\sqrt{\dfrac{3-a^2+\left(a-1\right)^4}{1+a^2}}=a\sqrt{\dfrac{a^4-4a^3+5a^2-4a-4}{1+a^2}}\)

\(=a\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(a-2\right)^2}{1+a^2}}=a\left(2-a\right)\)

• Tương tự, ta cũng có: \(b\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}=b\left(2-b\right)\)

\(c\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+a^2\right)}{1+c^2}}=c\left(2-c\right)\)

• Suy ra \(a\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(a-2\right)^2}{1+a^2}}+b\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}+c\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+a^2\right)}{1+c^2}}\)

\(=2\left(a+b+c\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(đpcm\right)\)

a.

\(\frac{3x-36}{12}=\frac{5y-45}{15}=\frac{z-1}{1}=\frac{3x+5y-z-50}{26}=\frac{-48}{26}\)

\(\Rightarrow\frac{x-12}{4}=\frac{-48}{26}\Rightarrow x=...\)

Tương tự với y, z, nhưng chắc bạn nhầm đề, nếu pt bên dưới là -2 thì nó ra \(\frac{-52}{26}=-2\) kết quả đẹp hơn nhiều

b. Không rõ đề

c.

\(x+y+z=9\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=81=3.27=3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z\Rightarrow\frac{3}{x}=1\Rightarrow x=y=z=3\)