Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+1⋮6\\b+2007⋮6\end{matrix}\right.\) nên \(a;b\) là các số nguyên dương lẻ
\(\Rightarrow a+b+4^a⋮2\) (1)
Mặt khác:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+1⋮6\\b+2007⋮6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+1⋮3\\b+2007⋮3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b+1\right)+2007⋮3\)
\(2007⋮3\Leftrightarrow a+b+1⋮3\)
\(4\) chia 3 dư 1 \(\Rightarrow\) Với mọi \(a\in N\) thì \(4^a:3\) dư 1
\(\Rightarrow4^a-1⋮3\)
\(\Rightarrow a+b+1+4^a-1⋮3\)
\(\Rightarrow a+b+4^a⋮3\)(2)
Kết hợp 1 và 2 ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}4^a+a+b⋮2\\4^a+a+b⋮3\end{matrix}\right.\).Vì \(\left(2;3\right)=1\) nên
\(4^a+a+b⋮6\left(đpcm\right)\)
