cho a,b,c >0 thỏa mãn a.b.c=1
chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{2a^3+1}+\dfrac{1}{2b^3+1}+\dfrac{1}{2c^3+1}\le1\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1980\)
Chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\dfrac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\dfrac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge1980\sqrt{3}\)
\(\dfrac{\sqrt{b^2+a^2+a^2}}{ab}\ge\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(b+a+a\right)^2}}{ab}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\) ; \(\dfrac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=1980\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{3}{1980}\)
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1
Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\) ≤ \(\dfrac{1}{2}\)
\(Áp\ dụng\ BĐT\ AM - GM,\ ta\ có: \\\sum\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}=\sum\dfrac{1}{(a^2+b^2)+(b^2+1)+2}\le\sum\dfrac{1}{2ab+2b+2} \\=\dfrac{1}{2}\sum\dfrac{1}{ab+b+1}=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2} \\Đẳng\ thức\ xảy\ ra\ khi\ a=b=c=1.\)
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: abc=1. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a^3}{a^2+2b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+2c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+2a^2}\ge1\)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+2b^2}=a-\dfrac{2ab^2}{a^2+2b^2}\ge a-\dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}=a-\dfrac{2}{3}\sqrt[3]{ab^2}\ge a-\dfrac{2}{9}\left(a+b+b\right)=a-\dfrac{2}{9}\left(a+2b\right)\) Chứng minh tương tự ta được:
\(\dfrac{b^3}{b^2+2c^2}\ge b-\dfrac{2}{9}\left(b+2c\right);\dfrac{c^3}{c^2+2a^2}\ge c-\dfrac{2}{9}\left(c+2a\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{a^2+2b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+2c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+2a^2}\ge a+b+c-\dfrac{2}{9}\left(a+2b+b+2c+c+2a\right)=a+b+c-\dfrac{2}{9}\left(3a+3b+3c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{1}{3}\cdot3\sqrt[3]{abc}=1\)Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\). Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{a^3+b+c}+\dfrac{1}{a+b^3+c}+\dfrac{1}{a+b+c^3}\le1\)
Cho các số thực dương \(a;b;c\) thỏa mãn \(a.b.c=1\). Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a^2+2.b^2+6}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+6}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+6}\le\dfrac{1}{3}\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán giúp đỡ 1 câu trong đề cương toán lớp 10 với ạ. Em cám ơn nhiều ạ!
cho a,b,c>0 và abc=1. chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{2a^2+1}+\dfrac{1}{2b^2+1}+\dfrac{1}{2c^2+1}\le1\)
\(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\sum\dfrac{1}{2\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+1}=\sum\dfrac{y^2}{2x^2+y^2}=\sum\dfrac{y^4}{2x^2y^2+y^4}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}=1\)
[???]
bài 1 : cho a, b, c>0 thỏa mãn a2+b2+c2=3
chứng minh rằng \(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}>=\dfrac{3}{2}\)
bài 2 : cho a, b, c>0. chứng minh rằng
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}>=\dfrac{1}{2}\)
bài 3 : cho a, b, c>0 thỏa mãn ab+bc+ac=abc
tìm GTLN của \(S=\dfrac{1}{3a+2b+c}+\dfrac{1}{3b+2c+a}+\dfrac{1}{3c+2a+b}\)
Ta có:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\ge\dfrac{9}{1+1+1+ab+bc+ca}\)(AM-GM)
Lại có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Cháu làm cho bác câu 2 thôi,câu 3 THANGDZ làm rồi sợ mất bản quyền lắm:v
Lời giải:
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\)
Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{2a-1}+\dfrac{1}{2b-1}+\dfrac{1}{2c-1}+\dfrac{4ab}{ab+1}+\dfrac{4bc}{bc+1}+\dfrac{4ac}{ac+1}\ge9\)
\(VT\ge\dfrac{1}{\left(a^2+1\right)-1}+\dfrac{1}{\left(b^2+1\right)-1}+\dfrac{1}{\left(c^2+1\right)-1}+4-\dfrac{4}{ab+1}+4-\dfrac{4}{bc+1}+4-\dfrac{4}{ca+1}\)
\(VT\ge\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{4}{ab+1}-\dfrac{4}{bc+1}-\dfrac{4}{ca+1}+12\)
Mặt khác \(a;b;c\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab+1\ge a+b\) (và tương tự...)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}-\dfrac{4}{a+b}-\dfrac{4}{b+c}-\dfrac{4}{c+a}+12\)
\(VT\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{4}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{4}{\left(c+a\right)^2}-\dfrac{4}{a+b}-\dfrac{4}{b+c}-\dfrac{4}{c+a}+1+1+1+9\)
\(VT\ge\left(\dfrac{2}{a+b}-1\right)^2+\left(\dfrac{2}{b+c}-1\right)^2+\left(\dfrac{2}{c+a}-1\right)^2+9\ge9\)
1. Giải phương trình $\sqrt2.\sqrt{2x^2 + x + 1} - \sqrt{4x-1} + 2x^2+3x-3 = 0$.
2. Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab+bc+ca = 3.$ Chứng minh
$\dfrac{a^3}{b+2c} + \dfrac{b^3}{c+2a} + \dfrac{c^3}{a+2b} \ge 1.$
b, \(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\ge1\)
\(\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ac+2bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac+2ac+2ab+2bc}\)( Bunhia dạng phân thức )
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3+2\left(ab+ac+bc\right)}=\frac{9}{3+6}=1\)( đpcm )
1.
Điều kiện .
Phương trình tương đương với \\
Với ta có:
.
Suy ra .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2.
Đặt
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương và ta có
.
Tương tự , .
Cộng các vế ta có .
Mà nên (ta có đpcm).
1.
√2 × √(2x2+x+1) + √(4x-1) + 3x-3=0
⇌[√(4x2+2x+2)-2] - [√(4x-1) -1] + (2x2+3x-2)=0
⇌(4x2+2x-2)/[√(4x2+2x+2)+2] - (4x-2)/[√(4x-1)+1] + (2x-1)(x+2) =0
⇔(2x-1) × [(2x+2)/√(4x2+2x+2+2) - 2/(√4x-1)+1+x+2]=0
Với x≥1/4 thì (2x+2)/(√4x2+2x+2+2)≥0 hoặc x+2>2 hoặc (√4x-1)+1≥1 ⇌ 2/[(√4x-1)+1]≤2
⇒(2x+2)/[(√4x2+2x+2)+2] - 2/[(x-1)+1]+x+2>0-2+2=0
⇌ 2x-1=0⇒x=1/2
Vậy x=1/2
2.
Áp dụng bất đẳng thức ta có :
Vế trái = a4/(ab +2ac) + b4/(bc+2ab) + c4/(ac+2bc)≥[(a2 + b2 +c2)2]/[3(ab+bc+ca) =[(a2+b2+c2)2]/9
Ấp dụng bất đẳng thức ta có :
ab+bc+ca≤a2+b2+c2
Vế trái ≥ [(a2+b2+c2)]/9≥32/9 =1
⇒ Vế trái ≥1 (đpcm)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1