a) Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat{HAB}=\widehat{BAC}=90^0\)

\(\widehat{B}:chung\)

do đó \(\Delta HBA\sim\Delta ABC\left(g-g\right)\)

b) Xét \(\text{ΔHBAvàΔHAC}\) có:

\(\widehat{BHA}=\widehat{CHA}=90^o\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{HAC}\) ( do cùng phụ với \(\widehat{BAH}\))

Do đó: \(\Delta HBA\sim\Delta HAC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}\Rightarrow HA^2=HB\cdot HC\)

c) Xét tứ giác ADHE có:

\(\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^o\)

Do đó ADHE là hình chữ nhật

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo hình chữ nhật(AH và DE)

\(\Rightarrow OD=OA\)(tính chất HCN)

\(\Rightarrow\Delta ODA\) cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{ODA}=\widehat{OAD}\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta HAB\) có:

\(\widehat{BHA}=\widehat{DAE}=90^o\\ \widehat{ODA}=\widehat{OAD}\left(cmt\right)\\ \Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta HAB\)

Mà \(\Delta HBA\sim\Delta ABC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta ABC\) (tính chất bắc cầu)

a) Xét ΔHBA và ΔABC có

\(\widehat{ABH}\) chung

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\left(=90^0\right)\)

Do đó: ΔHBA∼ΔABC(g-g)

b) Ta có: ΔHBA∼ΔABC(cmt)

⇒\(\widehat{BAH}=\widehat{BCA}\)(hai góc tương ứng)

Xét ΔHBA và ΔHAC có

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\)(cmt)

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}\left(=90^0\right)\)

Do đó: ΔHBA∼ΔHAC(g-g)

⇒\(\frac{BH}{AH}=\frac{AH}{CH}\)

hay \(AH^2=BH\cdot HC\)(đpcm)

c) Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{EAD}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

\(\widehat{AEH}=90^0\)(EH⊥AC)

\(\widehat{ADH}=90^0\)(HD⊥AB)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Xét ΔAED vuông tại A và ΔDHA vuông tại D có

ED=HA(ED và HA là hai đường chéo của hình chữ nhật ADHE)

EA=HD(EA và HD là hai cạnh đối của hình chữ nhật ADHE)

Do đó: ΔAED=ΔDHA(cạnh huyền-góc nhọn)

Xét ΔDHA và ΔHBA có

\(\widehat{DAH}\) chung

\(\widehat{HDA}=\widehat{BHA}\left(=90^0\right)\)

Do đó: ΔDHA∼ΔHBA(g-g)

mà ΔDHA=ΔAED(cmt)

nên ΔAED∼ΔHBA

mà ΔHBA∼ΔABC(cmt)

nên ΔAED∼ΔABC(tính chất bắc cầu)(đpcm)

còn câu d ?

a/ Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}chung\\\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta ABC\sim HAC\left(g-g\right)\)

b/ \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10cm\)

\(AH.BC=AB.AC\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=4,8cm\)

c/ \(\Delta HEA\sim\Delta CEH\left(g-g\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{HE}{CE}=\dfrac{EA}{HE}\Leftrightarrow HE^2=EA.EC\left(đpcm\right)\)

a) Xét ΔHAC và ΔABC có:

∠(ACH ) là góc chung

∠(BAC)= ∠(AHC) = 90o

⇒ ΔHAC ∼ ΔABC (g.g)

b) Xét ΔHAD và ΔBAH có:

∠(DAH ) là góc chung

∠(ADH) = ∠(AHB) = 90o

⇒ ΔHAD ∼ ΔBAH (g.g)

c) Tứ giác ADHE có 3 góc vuông ⇒ ADHE là hình chữ nhật.

⇒ ΔADH= ΔAEH ( c.c.c) ⇒ ∠(DHA)= ∠(DEA)

Mặt khác: ΔHAD ∼ ΔBAH ⇒ ∠(DHA)= ∠(BAH)

∠(DEA)= ∠(BAH)

Xét ΔEAD và ΔBAC có:

∠(DEA)= ∠(BAH)

∠(DAE ) là góc chung

ΔEAD ∼ ΔBAC (g.g)

d) ΔEAD ∼ ΔBAC

ΔABC vuông tại A, theo định lí Pytago:

Theo b, ta có:

1) Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có 

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHAC(g-g)

Sau gần một buổi trưa lăn lội với Thales, đồng dạng ở câu b thì t đã nghĩ đến cách của lớp 7 ~ ai dè làm được ^^

Sao bổ sung hình vẽ không được vậy nè

a: \(AB=\sqrt{12^2+9^2}=15\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: \(HD=\dfrac{9^2}{12}=\dfrac{81}{12}=\dfrac{27}{4}\left(cm\right)\)

a: \(\text{Δ}ABC\sim\text{Δ}HBA;\text{Δ}ABC\sim\text{Δ}HCA\)

b: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=25\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{15\cdot20}{25}=12\left(cm\right)\)

\(BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{15^2}{25}=9\left(cm\right)\)

CH=BC-BH=25-9=16(cm)

a) Để tính AC, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông: AC^2 = AB^2 + BC^2. Với AB = 12cm và BC = 20cm, ta có: AC^2 = 12^2 + 20^2 = 144 + 400 = 544. Do đó, AC = √544 ≈ 23.32cm.

Để tính góc B, ta sử dụng công thức sin(B) = BC/AC. Với BC = 20cm và AC = 23.32cm, ta có: sin(B) = 20/23.32 ≈ 0.857. Từ đó, góc B ≈ arcsin(0.857) ≈ 58.62°.

Để tính AH, ta sử dụng công thức cos(B) = AH/AC. Với góc B ≈ 58.62° và AC = 23.32cm, ta có: cos(B) = AH/23.32. Từ đó, AH = 23.32 * cos(58.62°) ≈ 11.39cm.

b) Ta cần chứng minh AE.AC = AB^2 - HB^2. Vì ΔABC vuông tại A, ta có: AE = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông) AC = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông) HB = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông)

Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: AE.AC = (AB * sin(B)) * (AB * cos(B)) = AB^2 * sin(B) * cos(B) = AB^2 * (sin(B) * cos(B)) = AB^2 * (sin^2(B) / sin(B)) = AB^2 * (1 - sin^2(B)) = AB^2 * (1 - (sin(B))^2) = AB^2 * (1 - (HB/AB)^2) = AB^2 - HB^2

Vậy, ta đã chứng minh AE.AC = AB^2 - HB^2.

c) Ta cần chứng minh AF = AE * tan(B). Vì ΔABC vuông tại A, ta có: AE = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông) AF = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông)

Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: AF = AB * cos(B) = AB * (cos(B) / sin(B)) * sin(B) = (AB * cos(B) / sin(B)) * sin(B) = AE * sin(B) = AE * tan(B)

Vậy, ta đã chứng minh AF = AE * tan(B).

d) Ta cần chứng minh tỉ lệ giữa các đường cao trong tam giác vuông ΔABC. CE/BF = AC/AB

Vì ΔABC vuông tại A, ta có: CE = AC * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông) BF = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông)

Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: CE/BF = (AC * cos(B)) / (AB * cos(B)) = AC/AB

Vậy, ta đã chứng minh CE/BF = AC/AB.

a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH là cạnh chung

Do đó: ΔABH=ΔACH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

b) Ta có: ΔABH=ΔACH(cmt)

⇒\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\)

Xét ΔAMH vuông tại M và ΔANH vuông tại N có

AH là cạnh chung

\(\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\)(cmt)

Do đó: ΔAMH=ΔANH(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒AM=AN(hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: ΔAHB=ΔAHC(cmt)

⇒HB=HC(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔBMH và ΔCNH có

HB=HC(cmt)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(hai góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔBMH=ΔCNH(cạnh huyền-góc nhọn)

d) Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)

nên ΔAMN cân tại A(định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{AMN}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔAMN cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{AMN}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MN//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

e)

*Tính AB

Ta có: HB=HC(cmt)

mà HB+HC=BC(H nằm giữa B và C)

nên \(BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{12cm}{2}=6cm\)

Áp dụng định lí pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được

\(AB^2=BH^2+AH^2\)

hay \(AB^2=6^2+8^2=100\)

⇒\(AB=\sqrt{100}=10cm\)

Vậy: AB=10cm

a) Xét △ABC,ta có :△ABC cân tại A nên

AB=AC, ∠ABC = ∠ACB( t/c tam giác cân)

Vì AH⊥BC nên ∠AHB = ∠AHC

# Xét △AHB vs △AHC, ta có :

∠AHB=∠AHC(=90^o)

AB=AC

∠ABC = ∠ACB

⇒△AHB = △AHC(ch-gn)

⇒HB=HC( 2 cạnh tương ứng )

b)Vì △AHB = △AHC(cmt) nên ∠HAB = ∠HAC(2 góc tương ứng)

Vì HM ⊥ AB nên ∠HMA =90^o

Vì HN ⊥ AC nên ∠HMB =90^o

#Xét △AHM vs △AHN, ta có:

∠AHM =∠AHN(=90^o)

AH là cạnh chung

∠MAH=∠NAH(cmt)

⇒△AHM = △AHN (ch-gn)

c) Lúc nữa.