a) Cả tử số và mẫu số của \(\frac{7n^2-3n+12}{n^2+2n+2}\) đều dẫn đến \(\infty\) nên không thể trả lời ngay biểu thức đó  tiến đến giới hạn nào (dạng vô định \(\left(\frac{\infty}{\infty}\right)\)). Tuy nhiên sau khi chia cả tử số và mẫu số cho \(n^2\) :

\(\frac{7n^2-3n+12}{n^2+2n+2}=\frac{7-\frac{3}{n}+\frac{12}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}\)

Ta thấy ngay tử số gần đến 7 và mẫu số gần đến 1 (vì \(\lim\limits\frac{1}{n^p}=0,p\ge1\)

Điều đó cho phép ta áp dụng công thức và thu được kết quả \(\lim\limits\frac{7n^2-3n+12}{n^2+2n+2}=\lim\limits\frac{7-\frac{3}{n}+\frac{12}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}=7\)

b) Áp dụng công thức "Nếu tồn tại \(\lim\limits a^n,k\in\)N* thì tồn tại \(\lim\limits\left(a_n\right)^k=\left(\lim\limits a_n\right)^k\)"

ta có : 

\(\lim\limits a_n=\left[\lim\limits\left(\frac{3n^2+n-2}{4n^2+2n+7}\right)\right]^3\)

Mặt khác do \(\lim\limits\frac{3n^2+n-2}{4n^2+2n+7}=\lim\limits\frac{3+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}}{4+\frac{2}{n}+\frac{7}{n^2}}=\frac{3}{4}\)

nên \(\lim\limits a_n=\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64}\)

c) Vì không thể áp dụng công thức giới hạn của thương cho mỗi số hạng của \(a_n\) nên đầu tiên cần biến đổi sơ bộ : chia tử số và mẫu số của số hạng thứ nhất cho \(n^2\), của số hạng thứ hai cho n.

Sau đó áp dụng : - Nếu \(b_n\ne0,\lim\limits b_n\ne0\) thì tồn tại \(\lim\limits\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits a_n}{\lim\limits b_n}\)

                            - Nếu tồn tại các giới hạn \(\lim\limits a_n,\lim\limits b_n\) thì tồn tại \(\lim\limits\left(a_n+b_n\right)=\lim\limits a_n+\lim\limits b_n\)

Ta có :

\(\lim\limits a_n=\lim\limits\frac{1}{2+\frac{1}{n^2}}+\lim\limits\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n}}=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}\)

1: \(-1< =cosx< =1\)

=>\(-3< =3\cdot cosx< =3\)

=>\(y\in\left[-3;3\right]\)

2:

TXĐ là D=R

3: \(L=\lim\limits\dfrac{-3n^3+n^2}{2n^3+5n-2}\)

\(=\lim\limits\dfrac{-3+\dfrac{1}{n}}{2+\dfrac{5}{n^2}-\dfrac{2}{n^3}}=-\dfrac{3}{2}\)

4:

\(L=lim\left(3n^2+5n-3\right)\)

\(=\lim\limits\left[n^2\left(3+\dfrac{5}{n}-\dfrac{3}{n^2}\right)\right]\)

\(=+\infty\) vì \(\left\{{}\begin{matrix}lim\left(n^2\right)=+\infty\\\lim\limits\left(3+\dfrac{5}{n}-\dfrac{3}{n^2}\right)=3>0\end{matrix}\right.\)

5:

\(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}n^3-2n^2+3n-4\)

\(=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}n^3\left(1-\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{4}{n^3}\right)\)

\(=+\infty\) vì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}n^3=+\infty\\\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}1-\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{4}{n^3}=1>0\end{matrix}\right.\)

\(1,y=3cosx\)

\(+TXD\) \(D=R\)

Có \(-1\le cosx\le1\)

\(\Leftrightarrow-3\le3cosx\le3\)

Vậy có tập giá trị \(T=\left[-3;3\right]\)

\(2,y=cosx\)

\(TXD\) \(D=R\)

\(3,L=lim\dfrac{n^2-3n^3}{2n^3+5n-2}=lim\dfrac{\dfrac{1}{n}-3}{2+\dfrac{5}{n^2}-\dfrac{2}{n^3}}\)(chia cả tử và mẫu cho \(n^3\))

\(=\dfrac{lim\dfrac{1}{n}-lim3}{lim2+5lim\dfrac{1}{n^2}-2lim\dfrac{1}{n^3}}=\dfrac{0-3}{2+5.0-2.0}=-\dfrac{3}{2}\)

\(4,L=lim\left(3n^2+5n-3\right)\\ =lim\left(3+\dfrac{5}{n}-\dfrac{3}{n^2}\right)\\ =lim3+5lim\dfrac{1}{n}-3lim\dfrac{1}{n^2}\\ =3\)

\(5,\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(n^3-2n^2+3n-4\right)\\ =lim\left(1-\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{4}{n^3}\right)\\ =lim1-0\\ =1\)

a) \(\lim \frac{{ - 2n + 1}}{n} = \lim \frac{{n\left( { - 2 + \frac{1}{n}} \right)}}{n} = \lim \left( { - 2 + \frac{1}{n}} \right) =  - 2\)

b) \(\lim \frac{{\sqrt {16{n^2} - 2} }}{n} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2}\left( {16 - \frac{2}{{{n^2}}}} \right)} }}{n} = \lim \frac{{n\sqrt {16 - \frac{2}{{{n^2}}}} }}{n} = \lim \sqrt {16 - \frac{2}{{{n^2}}}}  = 4\)

c) \(\lim \frac{4}{{2n + 1}} = \lim \frac{4}{{n\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}} = \lim \left( {\frac{4}{n}.\frac{1}{{2 + \frac{1}{n}}}} \right) = \lim \frac{4}{n}.\lim \frac{1}{{2 + \frac{1}{n}}} = 0\)

d) \(\lim \frac{{{n^2} - 2n + 3}}{{2{n^2}}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}{{2{n^2}}} = \lim \frac{{1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}}{2} = \frac{1}{2}\)

lim\(\frac{n^2+2n-3}{n\left(n+1\right)}\)=lim\(\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{3}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{1}{n}}\)

=\(\frac{lim1+lin\frac{n}{2}-lim\frac{3}{n^2}}{lim1+lim\frac{1}{n}}=1\)

a) lim (n³ + 2n² – n + 1) = lim n³ (1 + ) = +∞

b) lim (-n² + 5n – 2) = lim n² ( -1 + ) = -∞

c) lim ( - n) = lim
= lim = lim = lim = .

d) lim ( + n) = lim ( + n) = lim n ( + 1) = +∞.

\(a=\lim\dfrac{1}{\sqrt{4n+1}+2\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\infty}=0\)

\(b=\lim n\left(\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}-\sqrt{1-\dfrac{2}{n}}-1\right)=+\infty.\left(-1\right)=-\infty\)

\(c=\lim4^n\left(\sqrt{\left(\dfrac{9}{16}\right)^n-\left(\dfrac{3}{16}\right)^n}-1\right)=+\infty.\left(-1\right)=-\infty\)

\(d=\lim n^3\left(3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)=+\infty.3=+\infty\)

\(a=\lim n\left(\sqrt[3]{-1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{5}{n^3}}\right)=+\infty.\left(-1\right)=-\infty\)

\(b=\lim\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)=+\infty\)

\(c=\lim n\left(\dfrac{1}{n^2+n}-1\right)=+\infty.\left(-1\right)=-\infty\)

\(d=\lim\left(\dfrac{2n^2-1-2n\left(n+1\right)}{n+1}\right)=\lim\left(\dfrac{-1-2n}{n+1}\right)=-2\)

\(e=\lim\dfrac{2n^2+n-3+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{2}{n}-3}=\dfrac{+\infty}{-3}=-\infty\)

a/ Không phải dạng vô định thì cứ thay trực tiếp vào thôi

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\frac{\sqrt{x^2+60}-2x^2}{x^2-1}\right)=\frac{\sqrt{2^2+60}-2.2^2}{2^2-1}=0\)

b/ Bạn có viết nhầm mẫu số ko? Đề bài thế này hoàn toàn ko chặt chẽ

Số hạng tổng quát \(\frac{1}{4n^2}\) đâu có đúng với 2 số hạng đầu trong dãy?

Dù sao thì, nếu tử số và mẫu số có cùng số số hạng là \(2n\) thì vẫn tính được dựa vào giới hạn kẹp

\(1+2+3+...+2n=\frac{2n\left(n+1\right)}{2}\)

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4n^2}< 1+1+1+...+1=2n\)

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n^2}>\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{2n^2}+...+\frac{1}{2n^2}=2n.\frac{1}{2n^2}=\frac{1}{n}\)

\(\Rightarrow lim\left(\frac{2n\left(2n+1\right)}{2.2n}\right)< lim\left(\frac{1+2+3+...+2n}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4n^2}}\right)< lim\left(\frac{2n\left(2n+1\right)}{\frac{1}{n}}\right)\)

Mà \(lim\left(\frac{2n\left(2n+1\right)}{2.2n}\right)=lim\left(n+\frac{1}{2}\right)=+\infty\)

\(lim\left(\frac{2n\left(2n+1\right)}{\frac{1}{n}}\right)=lim\left(2n^2\left(2n+1\right)\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow lim\left(\frac{1+2+3+...+2n}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4n^2}}\right)=+\infty\)