Question

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\frac{\sqrt{x^2+60}-2x^2}{x^2-1}\right)\)

b) \(\lim\limits\left(\frac{1+2+3+........+2n}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+.......+\frac{1}{4n^2}}\right)\)

Answer 1

a/ Không phải dạng vô định thì cứ thay trực tiếp vào thôi

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\frac{\sqrt{x^2+60}-2x^2}{x^2-1}\right)=\frac{\sqrt{2^2+60}-2.2^2}{2^2-1}=0\)

b/ Bạn có viết nhầm mẫu số ko? Đề bài thế này hoàn toàn ko chặt chẽ

Số hạng tổng quát \(\frac{1}{4n^2}\) đâu có đúng với 2 số hạng đầu trong dãy?

Dù sao thì, nếu tử số và mẫu số có cùng số số hạng là \(2n\) thì vẫn tính được dựa vào giới hạn kẹp

\(1+2+3+...+2n=\frac{2n\left(n+1\right)}{2}\)

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4n^2}< 1+1+1+...+1=2n\)

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n^2}>\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{2n^2}+...+\frac{1}{2n^2}=2n.\frac{1}{2n^2}=\frac{1}{n}\)

\(\Rightarrow lim\left(\frac{2n\left(2n+1\right)}{2.2n}\right)< lim\left(\frac{1+2+3+...+2n}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4n^2}}\right)< lim\left(\frac{2n\left(2n+1\right)}{\frac{1}{n}}\right)\)

Mà \(lim\left(\frac{2n\left(2n+1\right)}{2.2n}\right)=lim\left(n+\frac{1}{2}\right)=+\infty\)

\(lim\left(\frac{2n\left(2n+1\right)}{\frac{1}{n}}\right)=lim\left(2n^2\left(2n+1\right)\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow lim\left(\frac{1+2+3+...+2n}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4n^2}}\right)=+\infty\)