Bài 3: \(A=\frac{\left(2a+b+c\right)\left(a+2b+c\right)\left(a+b+2c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z

\(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài 4: \(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9x-18}{2-x}+\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\ge-9+\frac{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^2}{2-x+x}=-9+\frac{32}{2}=7\)

Dấu = xảy ra khi\(\frac{\sqrt{18}}{2-x}=\frac{\sqrt{2}}{x}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

a. \(A=\frac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{x}\)

\(A=\frac{x^2+4x+3}{x}\)

\(A=x+4+\frac{3}{x}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :

\(A\ge2\sqrt{\frac{3x}{x}}+4=2\sqrt{3}+4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{3}{x}\Leftrightarrow x^2=3\Leftrightarrow x=\sqrt{3}\)( thỏa )

b. \(B=\frac{\left(x-y\right)\left(x-3y\right)}{xy}\)

\(B=\frac{x^2-4xy+3y^2}{xy}\)

\(B=\frac{x}{y}-4+\frac{3y}{x}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :

\(B\ge2\sqrt{\frac{3xy}{xy}}-4=2\sqrt{3}-4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{3y}{x}\Leftrightarrow x^2=3y^2\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y\sqrt{3}\)

2, rút gọn B=x^2/(y-1)+y^2/(x-1) 

AM-GM : x^2/(y-1)+4(y-1) >/ 4x ; y^2/(x-1)+4(x-1) >/ 4y 

=> B >/ 4x-4(y-1)+4y-4(x-1)=4x-4y+4+4y-4x+4=8 

minB=8 

Câu 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x+1\ge2\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow x+1+x+1\ge x+2\sqrt{x}+1\)

\(\Rightarrow2x+2\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(1\right)\)

Tương tự cũng có: \(2y+2\ge\left(\sqrt{y}+1\right)^2\left(2\right)\)

Nhân theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right)\) ta có:

\(\left(2x+2\right)\left(2y+2\right)\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{y}+1\right)^2\ge16\)

\(\Rightarrow4\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge16\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge4\)

Lại áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(x+1\right)+\left(y+1\right)\ge2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge4\)

\(\Rightarrow x+y\ge2\). Giờ thì áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=1\)

x,y có dương đâu mà AM-GM rồi schwarz hay vậy Thắng ? 

dễ mà bạn :))) gáy tí , sai thì thôi

\(P=\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)

\(=\frac{x^3\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3\left(1+x\right)}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)\left(1+y\right)}\)

\(=\frac{x^3\left(1+z\right)+y^3\left(1+x\right)+z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^3y^3z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

đến đây áp dụng BĐT phụ ( 1+a ) ( 1+b ) ( 1+c ) >= 8abc 

EZ :)))

nhưng làm thế thì ko bảo toàn đc dấu bất đẳng thức mà

TA LẦN LƯỢT ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ VÀO TỪNG BDT SAU SẼ ĐƯỢC: 

Có:    \(\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}{64\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)

=>      \(\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8}\ge\frac{3x}{4}\)

CMTT TA CŨNG SẼ ĐƯỢC:    \(\hept{\begin{cases}\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\ge\frac{3y}{4}\\\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\frac{1+z}{8}+\frac{1+x}{8}\ge\frac{3z}{4}\end{cases}}\)

=> TA CỘNG TỪNG VẾ 3 BĐT ĐÓ LẠI SẼ ĐƯỢC:   

\(\Rightarrow P+\frac{1+x}{4}+\frac{1+y}{4}+\frac{1+z}{4}\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow P+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(x+y+z\right)-3}{4}\)

TA LẠI ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ 1 LẦN NỮA SẼ ĐƯỢC: 

\(\Rightarrow P\ge\frac{2.3\sqrt[3]{xyz}-3}{4}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2.3-3}{4}=\frac{6-3}{4}=\frac{3}{4}\)      (DO \(xyz=1\))

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(x=y=z\)

MÀ:     \(xyz=1\Rightarrow x=y=z=1\)

VẬY P MIN    \(=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

\(M=5\left(x+y+z\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)+2.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(M\ge5.\left(\frac{3}{4}\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=5.\frac{9}{16}+\frac{\frac{9}{16}}{3}+2.\frac{9}{\frac{4.3}{4}}=9\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/4  ( cái này bạn tự giải rõ nhé)

:D. cái gì đây

tự hỏi tự trả lời ? 

Lại còn " cái này bn tự giải rõ nhé " :v

?Amanda?, Phạm Lan Hương, Phạm Thị Diệu Huyền, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương

giúp e với ạ! Cần trước 5h chiều nay! Cảm ơn mn nhiều!

Tranh thủ làm 1, 2 bài rồi ăn cơm:

1/ Đặt \(m=n-2008>0\)

\(\Rightarrow2^{2008}\left(369+2^m\right)\) là số chính phương

\(\Rightarrow369+2^m\) là số chính phương

m lẻ thì số trên chia 3 dư 2 nên ko là số chính phương

\(\Rightarrow m=2k\Rightarrow369=x^2-\left(2^k\right)^2=\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)\)

b/

\(2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)=a^4+b^4\) \(\left(a+b>2\right)\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\le4\left(a+b-2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\le0\Rightarrow a=b=2\)

\(\Rightarrow x=y=4\)

2/

\(A\ge\frac{8a^2+1-a}{4a}+b^2=2a+\frac{1}{4a}+b^2-\frac{1}{4}=a+\frac{1}{4a}+b^2+a-\frac{1}{4}\)

\(A\ge a+\frac{1}{4a}+b^2+1-b-\frac{1}{4}=a+\frac{1}{4a}+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

b/ Giả thiết tương đương:

\(a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)=2\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}=2\)

Hình như bạn ghi nhầm biểu thức

Đặt \(\left(\frac{a}{b+1};\frac{b}{a+1}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\0\le x;y\le2\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)=1+x^3+y^3+\left(xy\right)^3\)

\(=1+\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(xy\right)^3\)

\(=\left(xy\right)^3-6xy+9=9-xy\left(6-\left(xy\right)^2\right)\)

Do \(xy\le1\Rightarrow6-\left(xy\right)^2>0\Rightarrow xy\left(6-\left(xy\right)^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow P\le9\Rightarrow P_{max}=9\) khi \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) hay \(\left(a;b\right)=\left(0;2\right);\left(2;0\right)\)

Câu c giống câu này:

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/790896.html

Bạn tham khảo tạm, cách đó quá dài nên chắc chắn ko tối ưu, nó trâu bò quá