Question

Tìm min:

a. A = \(\frac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{x}\) (x > 0)

b. B = \(\frac{\left(x-y\right)\left(x-3y\right)}{xy}\) (x,y > 0)

Answer 1

a. \(A=\frac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{x}\)

\(A=\frac{x^2+4x+3}{x}\)

\(A=x+4+\frac{3}{x}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :

\(A\ge2\sqrt{\frac{3x}{x}}+4=2\sqrt{3}+4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{3}{x}\Leftrightarrow x^2=3\Leftrightarrow x=\sqrt{3}\)( thỏa )

b. \(B=\frac{\left(x-y\right)\left(x-3y\right)}{xy}\)

\(B=\frac{x^2-4xy+3y^2}{xy}\)

\(B=\frac{x}{y}-4+\frac{3y}{x}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :

\(B\ge2\sqrt{\frac{3xy}{xy}}-4=2\sqrt{3}-4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{3y}{x}\Leftrightarrow x^2=3y^2\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y\sqrt{3}\)