Cho các đường thẳng \(y=\left(2m+1\right)x-4m+1;y+2m^2-1=\left(m^2+m+1\right)x-2m;\left(3m-1\right)x+\left(2-2m\right)y=1\) . Cmr các đường thẳng trên cùng đi qua một điểm
Cho các đường thẳng \(y=\left(2m+1\right)x-4m+1;y+2m^2-1=\left(m^2+m+1\right)x-2m;\left(3m-1\right)x+\left(2-2m\right)y=1\) . Cmr các đường thẳng trên cùng đi qua một điểm
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d):\(\left(y\right)=\left(2m-3\right)x+4m-3\). Gọi H là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d). Tìm giá trị lớn nhất của h.
PT giao Ox: \(x=\dfrac{3-4m}{2m-3}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{3-4m}{2m-3};0\right)\Leftrightarrow OA=\left|\dfrac{3-4m}{2m-3}\right|\)
PT giao Oy: \(y=4m-3\Leftrightarrow B\left(0;4m-3\right)\Leftrightarrow OB=\left|4m-3\right|\)
Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(2m-3\right)^2}{\left(4m-3\right)^2}+\dfrac{1}{\left(4m-3\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{4m^2-12m+10}{\left(4m-3\right)^2}\\ \Leftrightarrow OH^2=\dfrac{16m^2-24m+9}{4m^2-12m+10}\)
Đặt \(OH^2=t\)
\(\Leftrightarrow4m^2t-12mt+10t=16m^2-24m+9\\ \Leftrightarrow m^2\left(4t-16\right)-m\left(12t-24\right)+10t-9=0\)
Coi đây là PT bậc 2 ẩn m, PT có nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta=\left(12t-24\right)^2-4\left(10t-9\right)\left(4t-16\right)\ge0\\ \Leftrightarrow144t^2-576t+576-160x^2+784x-576\ge0\\ \Leftrightarrow-t^2+13t\ge0\\ \Leftrightarrow0\le t\le13\\ \Leftrightarrow OH\le\sqrt{13}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\) PT có nghiệm kép hay \(m=\dfrac{12t-24}{8t-32}=\dfrac{3t-6}{2t-8}=\dfrac{39-6}{26-8}=\dfrac{33}{18}\)
Cho các đường thẳng \(y=x+1\left(d_1\right),y=3x-2\left(d_2\right),y=2m+3x-1\left(d_3\right)\)
a) Vẽ đồ thị hàm số \(\left(d_1\right),\left(d_2\right)\) trên cùng hệ trục tọa độ
b) Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy
c) Cm rằng \(\left(d_3\right)\) để luôn đi qua 1 điểm với mọi giá trị của m
a:
b: Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là:
\(\left\{{}\begin{matrix}3x-2=x+1\\y=x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-x=2+1\\y=x+1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x=3\\y=x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
Thay x=3/2 và y=5/2 vào (d3), ta được:
\(2m+3\cdot\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{5}{2}\)
=>\(2m+\dfrac{7}{2}=\dfrac{5}{2}\)
=>\(2m=-1\)
=>m=-1/2
c: (d3): y=2m+3x-1
=>y=m*2+3x-1
Tọa độ điểm mà (d3) luôn đi qua là:
\(\left\{{}\begin{matrix}2=0\left(vôlý\right)\\y=3x-1\end{matrix}\right.\)
=>(d3) không đi qua cố định bất cứ điểm nào
Tìm tổng tất cả các giá trị thực của tham số
m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
\(y=2x^3+3\left(m-1\right)x^2+6m\left(1-2m\right)x.\) song song đường thẳng y= -4x
.
Chứng minh công thức tổng quát phương trình đi qua 2 điểm cực trị:
giả sử hàm bậc 3: \(y=ax^3+bxx^2+cx+d\left(a\ne0\right)\) có 2 điểm cực trị x1;x2
Ta đi tìm số dư 1 cách tổng quát:
Ta có: \(y'=3ax^2+2bx+c-và-y''=6ax+b\)
Xét phép chia giữa y' và y'' ta có: \(y=y'\left(\dfrac{1}{3}x+\dfrac{b}{9a}\right)+g\left(x\right)\left(1\right)\) là phường trình đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3
từ (1) Ta có: \(y=y'\dfrac{3ax+b}{9a}+g\left(x\right)-hay-y=y'\dfrac{6ax+2b}{18a}g\left(x\right)\)
Từ đây dễ suy ra: \(g\left(x\right)=y-\dfrac{y'.y''}{18a}\left(công-thức-tổng-quát\right)\) ( dĩ nhiên bạn chỉ cần nhớ cái này )
áp dụng vào bài toán ta có:
\(2x^3+3\left(m-1\right)x^2+6m\left(1-2m\right)x-\left(6x^2+6\left(m-1\right)x+6m\left(1-2m\right)\right).\dfrac{12x+6\left(m-1\right)}{18.2}\)
Gán: \(\left\{{}\begin{matrix}x=i\\m=10\end{matrix}\right.\) => 1710-841i
\(\Rightarrow y=4m\left(-2m-1\right)x+17m^2+m\) bài toán quay trở về bài toán đơn giản bạn giải nốt là oke
Cho đường thẳng \(\left(d_1\right):y=\left(m-1\right)x-m^2-2m\) và đường thẳng \(\left(d_2\right):y=\left(m-2\right)x-m^2-m+1\) cắt nhau tại G. Cmr: G luôn yhuoocj một đường thẳng cố định
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\left(m-1\right)x-m^2-2m=\left(m-2\right)x-m^2-m+1\)
\(\Leftrightarrow x=m+1\)
\(\Rightarrow y=\left(m-1\right)\left(m+1\right)-m^2-2m=-2m-1\)
\(\Rightarrow Q\left(m+1;-2m-1\right)\)
Mà \(2x_Q+y_Q=2m+2-2m-1=1\) \(\forall m\)
\(\Leftrightarrow y_Q=-2x_Q+1\) \(\forall m\)
\(\Rightarrow Q\) luôn thuộc đường thẳng cố định \(y=-2x+1\)
8. Cho các đường thẳng
\(d:y=\left(m-2\right)x+m+7;\)
\(d_1:y=-mx-3+2m;\)
\(d_2:y=-m^2x-2m+1;\)
\(d_3:y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3};\)
\(d_4:y=-\dfrac{1}{6}\left(m+3\right)x=+4.\)
Tìm m để
a.\(d//d_1\)
b.\(d\equiv d_2\)
c.\(d\) cắt \(d_3\) tại điểm có tung độ \(y=\dfrac{1}{3}\)||
d. \(d\perp d_4\)
a: d//d1
=>m-2=-m và m+7<>2m-3
=>m=1
b: d trùng với d2
=>m-2=-m^2 và m+7=-2m+1
=>m=-2 và m^2+m-2=0
=>m=-2
d: d vuông góc d4
=>-1/6(m+3)(m-2)=-1
=>(m+3)(m-2)=6
=>m^2+m-6-6=0
=>m^2+m-12=0
=>m=-4 hoặc m=3
c: Thay y=1/3 vào d3, ta được:
-2/3x+5/3=1/3
=>-2/3x=-4/3
=>x=2
Thay x=2 và y=1/3 vào (d), ta được:
2(m-2)+m+7=1/3
=>3m+3=1/3
=>3m=-8/3
=>m=-8/9
Tìm m để: Điểm \(A\left(2;-3\right)\) thuộc đường thẳng \(\left(m-1\right)x+\left(m+1\right)y=2m+1\).
A(2;-3) => x = 2; y = -3
Thay x = 2 và y = -3 ta có:
\(\left(m-1\right).2+\left(m+1\right).\left(-3\right)=2m+1\\ \Leftrightarrow2m-2-3m-3=2m+1\\ \Leftrightarrow-m-5=2m+1\\ \Leftrightarrow3m=6\\ \Leftrightarrow m=2\)
Vậy m = 2
Tìm m để: Điểm \(A\left(2;-3\right)\) thuộc đường thẳng \(\left(m-1\right)x+\left(m+1\right)y=2m+1\).
Lời giải:
Để điểm $A(2,-3)$ thuộc đt đã cho thì:
$(m-1)x_A+(m+1)y_A=2m+1$
$\Leftrightarrow (m-1).2+(m+1)(-3)=2m+1$
$\Leftrightarrow 2m-2-3m-3=2m+1$
$\Leftrightarrow -m-5=2m+1$
$\Leftrightarrow -6=3m$
$\Leftrightarrow m=-2$
Cho hàm số \(f\left(x\right)=x^3-3mx^2+3\left(2m-1\right)x+1\)
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị (\(C_m\)) của hàm số đã cho và đường thẳng \(y=2mx-4m+3\) luôn có 1 điểm chung cố định
hoành độ giao điểm là nghiệm của pt
\(x^3-3mx^2+3\left(2m-1\right)x+1=2mx-4m+3\Leftrightarrow x^3-3mx^2+4mx-3x-2+4m=0\Leftrightarrow x^3-3x-2-m\left(3x^2-4x+4\right)=0\)
giải hệ pt ta có \(C_m\) luôn đi qua điểm A là nghiệm của hệ pt sau
\(\begin{cases}3x^2-4x+4=0\\x^3-3x-2=0\end{cases}\)
ta đc điều phải cm