Cho $\triangle ABC$ nhọn, $BD, CE$ là các đường cao cắt nhau tại $H$.
a) Chứng minh $BD = CE$
Xét hai tam giác vuông $BDC$ và $CEB$:
$\widehat{BDC} = 90^\circ$, $\widehat{CEB} = 90^\circ$
Lại có:
$\widehat{BCD} = \widehat{C}$
$\widehat{CBE} = \widehat{C}$
=> $\triangle BDC \sim \triangle CEB$ (g.g)
Do đó: $\dfrac{BD}{CE} = \dfrac{BC}{CB} = 1$
=> $BD = CE$. (đpcm)
b) Chứng minh $HD + HE + HF < AH + BH + CH$
Vì $BD, CE$ là đường cao nên $H$ là trực tâm.
Xét tam giác $ABC$, gọi $F$ là trung điểm của $BC$.
Ta có:
$HF < HB$ (trong tam giác $HBC$)
$HD < HA$ (trong tam giác $HAC$)
$HE < HC$ (trong tam giác $HAB$)
Cộng ba bất đẳng thức: $HD + HE + HF < HA + HB + HC$
Hay: $HD + HE + HF < AH + BH + CH$. (đpcm)