b) $\frac{1}{2}\sqrt{x - 1} - \frac{3}{2}\sqrt{9x - 9} + 24\sqrt{\frac{x - 1}{64}} = -17$

Điều kiện xác định:

$x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

Biến đổi phương trình:

$\frac{1}{2}\sqrt{x - 1} - \frac{3}{2}\sqrt{9(x - 1)} + 24 \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{64}} = -17$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{x - 1} - \frac{3}{2} \cdot 3\sqrt{x - 1} + 24 \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{8} = -17$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{x - 1} - \frac{9}{2}\sqrt{x - 1} + 3\sqrt{x - 1} = -17$

$\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2} - \frac{9}{2} + 3\right)\sqrt{x - 1} = -17$

$\Leftrightarrow -1\sqrt{x - 1} = -17$

$\Leftrightarrow \sqrt{x - 1} = 17$

$\Leftrightarrow x - 1 = 289$

$\Leftrightarrow x = 290$ (Thỏa mãn điều kiện $x \ge 1$)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{290\}$.

a) $\sqrt{4x + 20} - 3\sqrt{5 + x} + \frac{4}{3}\sqrt{9x + 45} = 6$

Điều kiện xác định:

$5 + x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -5$

Biến đổi phương trình:

$\sqrt{4(x + 5)} - 3\sqrt{x + 5} + \frac{4}{3}\sqrt{9(x + 5)} = 6$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x + 5} - 3\sqrt{x + 5} + \frac{4}{3} \cdot 3\sqrt{x + 5} = 6$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x + 5} - 3\sqrt{x + 5} + 4\sqrt{x + 5} = 6$

$\Leftrightarrow (2 - 3 + 4)\sqrt{x + 5} = 6$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x + 5} = 6$

$\Leftrightarrow \sqrt{x + 5} = 2$

$\Leftrightarrow x + 5 = 4$

$\Leftrightarrow x = -1$ (Thỏa mãn điều kiện $x \ge -5$)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-1\}$.

A. $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$

Ta phân tích:

$= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 + 4^3$

$= (x + 4)^3$

B. $a^3 + 3a - 3a^2 - 1$

Sắp xếp lại các hạng tử:

$= a^3 - 3a^2 + 3a - 1$

$= a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 - 1^3$

$= (a - 1)^3$

C. $8 - 12x + 6x^2 - x^3$

Ta phân tích:

$= 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 - x^3$

$= (2 - x)^3$

D. $27x + x^3 + 9x^2 + 27$

Sắp xếp lại các hạng tử:

$= x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

$= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3$

$= (x + 3)^3$

E. $-x^3 + 3x^2 - 3x + 1$

Sắp xếp lại các hạng tử:

$= 1 - 3x + 3x^2 - x^3$

$= 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot x + 3 \cdot 1 \cdot x^2 - x^3$

$= (1 - x)^3$

(Hoặc rút dấu minus ra ngoài: $-(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = -(x - 1)^3$)

F. $125 - 15x^2 + 75x - x^3$ (Đề sửa dấu đúng hằng đẳng thức)

Sắp xếp lại các hạng tử:

$= 125 + 75x - 15x^2 - x^3$

$= 5^3 + 3 \cdot 5^2 \cdot (-x) + 3 \cdot 5 \cdot (-x)^2 + (-x)^3$

$= 5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3$

$= (5 - x)^3$

G. $\frac{1}{8}a^3 + \frac{3}{4}a^2b + \frac{3}{2}ab^2 + b^3$

Ta phân tích:

$= \left(\frac{1}{2}a\right)^3 + 3 \cdot \left(\frac{1}{2}a\right)^2 \cdot b + 3 \cdot \left(\frac{1}{2}a\right) \cdot b^2 + b^3$

$= \left(\frac{1}{2}a + b\right)^3$

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) $3 - 4x + 24 + 6x = x + 27 + 3x$

Thu gọn hai vế phương trình:

$\Leftrightarrow (3 + 24) + (-4x + 6x) = (x + 3x) + 27$

$\Leftrightarrow 27 + 2x = 4x + 27$

Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái, các số hạng tự do sang vế phải:

$\Leftrightarrow 2x - 4x = 27 - 27$

$\Leftrightarrow -2x = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{0\}$.

b) $5 - (6 - x) = 4(3 - 2x)$

Bỏ dấu ngoặc và nhân phá ngoặc ở vế phải:

$\Leftrightarrow 5 - 6 + x = 12 - 8x$

$\Leftrightarrow -1 + x = 12 - 8x$

Chuyển ẩn về vế trái, hằng số về vế phải:

$\Leftrightarrow x + 8x = 12 + 1$

$\Leftrightarrow 9x = 13$

$\Leftrightarrow x = \frac{13}{9}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{\frac{13}{9}\right\}$.

c) $x - \frac{x + 1}{3} = \frac{2x + 1}{5}$

Quy đồng mẫu số hai vế với mẫu chung là $15$:

$\Leftrightarrow \frac{15x}{15} - \frac{5(x + 1)}{15} = \frac{3(2x + 1)}{15}$

Khử mẫu hai vế:

$\Leftrightarrow 15x - 5(x + 1) = 3(2x + 1)$

$\Leftrightarrow 15x - 5x - 5 = 6x + 3$

$\Leftrightarrow 10x - 5 = 6x + 3$

Chuyển vế và thu gọn:

$\Leftrightarrow 10x - 6x = 3 + 5$

$\Leftrightarrow 4x = 8$

$\Leftrightarrow x = 2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{2\}$.

d) $\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 2}{7} = x + 13$

Quy đồng mẫu số hai vế với mẫu chung là $21$:

$\Leftrightarrow \frac{7(2x - 1)}{21} - \frac{3(5x + 2)}{21} = \frac{21(x + 13)}{21}$

Khử mẫu hai vế:

$\Leftrightarrow 7(2x - 1) - 3(5x + 2) = 21(x + 13)$

$\Leftrightarrow 14x - 7 - 15x - 6 = 21x + 273$

$\Leftrightarrow -x - 13 = 21x + 273$

Chuyển vế và thu gọn:

$\Leftrightarrow -x - 21x = 273 + 13$

$\Leftrightarrow -22x = 286$

$\Leftrightarrow x = \frac{286}{-22}$

$\Leftrightarrow x = -13$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-13\}$.

Biến đổi phương trình ban đầu:

$(x^2 + 2x)^2 - 6(x^2 + 2x) + 5 = 0$

Đặt $t = x^2 + 2x$.

Phương trình trở thành:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Phương trình bậc hai theo $t$ có các hệ số $a = 1, b = -6, c = 5$.

Ta thấy: $a + b + c = 1 + (-6) + 5 = 0$

Suy ra phương trình có hai nghiệm:

$\left[\begin{matrix} t = 1 \\ t = 5 \end{matrix}\right.$

Trường hợp 1: Với $t = 1$

$x^2 + 2x = 1$

$\Leftrightarrow x^2 + 2x - 1 = 0$

Tính $\Delta'_1 = 1^2 - 1 \cdot (-1) = 1 + 1 = 2 > 0$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{2}$

Trường hợp 2: Với $t = 5$

$x^2 + 2x = 5$

$\Leftrightarrow x^2 + 2x - 5 = 0$

Tính $\Delta'_2 = 1^2 - 1 \cdot (-5) = 1 + 5 = 6 > 0$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$x_{3,4} = -1 \pm \sqrt{6}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-1 - \sqrt{6}; -1 - \sqrt{2}; -1 + \sqrt{2}; -1 + \sqrt{6}\}$.

Giải phương trình: $2x^4 - 6x^3 - x^2 + 12x - 10 = 0$

Tách các hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử:

$2x^4 - 6x^3 - x^2 + 12x - 10 = 0$

$\Leftrightarrow (2x^4 - 4x^2) - (6x^3 - 12x) + (3x^2 - 6) - (4x^2 - 4) = 0$

$\Leftrightarrow 2x^4 - 4x^2 - 6x^3 + 12x + 5x^2 - 10 = 0$

$\Leftrightarrow 2x^2(x^2 - 2) - 6x(x^2 - 2) + 5(x^2 - 2) = 0$

$\Leftrightarrow (x^2 - 2)(2x^2 - 6x + 5) = 0$

Suy ra:

$\left[\begin{matrix} x^2 - 2 = 0 \quad (1) \\ 2x^2 - 6x + 5 = 0 \quad (2) \end{matrix}\right.$

Giải phương trình (1):

$x^2 - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 = 2$

$\Leftrightarrow x = \pm\sqrt{2}$

Giải phương trình (2):

$2x^2 - 6x + 5 = 0$

Ta có: $\Delta' = (-3)^2 - 2 \cdot 5 = 9 - 10 = -1 < 0$

Do $\Delta' < 0$ nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-\sqrt{2}; \sqrt{2}\}$.

Phương trình 3: $x^4 - 12x^3 + x^2 + x + 1 = 0$

Nhận xét $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình.

Chia hai vế của phương trình cho $x^2$, ta được:

$x^2 - 12x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

$\Leftrightarrow \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - \left(12x - \frac{1}{x}\right) + 1 = 0$

Đặt $t = x - \frac{1}{x} \Rightarrow t^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$.

Ta phân tích phương trình thành tích của hai tam thức bậc hai bằng phương pháp hệ số bất định: $x^4 - 12x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 - a x + b)(x^2 - c x + d)$

Đồng nhất hệ số hai vế, ta tìm được hai phương trình bậc hai:

Phương trình (1):

$x^2 - (6 + \sqrt{35})x + \frac{1}{2}(1 + \sqrt{35}) = 0$

Giải phương trình (1) bằng công thức $\Delta$:

$\Delta_1 = (6 + \sqrt{35})^2 - 2(1 + \sqrt{35}) = 36 + 12\sqrt{35} + 35 - 2 - 2\sqrt{35} = 69 + 10\sqrt{35} > 0$

$\Rightarrow x = \frac{6 + \sqrt{35} \pm \sqrt{69 + 10\sqrt{35}}}{2}$

Phương trình (2):

$x^2 - (6 - \sqrt{35})x + \frac{1}{2}(1 - \sqrt{35}) = 0$

Giải phương trình (2) bằng công thức $\Delta$:

$\Delta_2 = (6 - \sqrt{35})^2 - 2(1 - \sqrt{35}) = 36 - 12\sqrt{35} + 35 - 2 + 2\sqrt{35} = 69 - 10\sqrt{35} > 0$

$\Rightarrow x = \frac{6 - \sqrt{35} \pm \sqrt{69 - 10\sqrt{35}}}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

$S = \left\{\frac{6 + \sqrt{35} \pm \sqrt{69 + 10\sqrt{35}}}{2}; \frac{6 - \sqrt{35} \pm \sqrt{69 - 10\sqrt{35}}}{2}\right\}$

Phương trình 2: $x^4 - 2x^3 - 11x^2 + 12x + 36 = 0$

Biến đổi phương trình về dạng:

$(x^2 - x)^2 - 12(x^2 - x) + 36 = 0$

Đặt ẩn phụ $t = x^2 - x$.

Phương trình trở thành:

$t^2 - 12t + 36 = 0$

$\Leftrightarrow (t - 6)^2 = 0$

$\Leftrightarrow t = 6$

Trở lại ẩn $x$, ta có:

$x^2 - x = 6$

$\Leftrightarrow x^2 - x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - 3x + 2x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x(x - 3) + 2(x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 3)(x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x - 3 = 0 \\ x + 2 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = 3 \\ x = -2 \end{matrix}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-2; 3\}$.

Phương trình 1: $2x^4 - x^3 - 9x^2 + 13x - 5 = 0$

Đặt $t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1$.

Thay $x = t + 1$ vào phương trình ban đầu, ta được:

$2(t + 1)^4 - (t + 1)^3 - 9(t + 1)^2 + 13(t + 1) - 5 = 0$

Khai triển các biểu thức:

$2(t^4 + 4t^3 + 6t^2 + 4t + 1) - (t^3 + 3t^2 + 3t + 1) - 9(t^2 + 2t + 1) + 13t + 13 - 5 = 0$

$\Leftrightarrow 2t^4 + 8t^3 + 12t^2 + 8t + 2 - t^3 - 3t^2 - 3t - 1 - 9t^2 - 18t - 9 + 13t + 13 - 5 = 0$

$\Leftrightarrow 2t^4 + 7t^3 = 0$

$\Leftrightarrow t^3(2t + 7) = 0$

Trường hợp 1: $t^3 = 0 \Rightarrow t = 0$

Trường hợp 2: $2t + 7 = 0 \Rightarrow t = -\frac{7}{2}$

Trở lại ẩn $x$:

- Với $t = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

- Với $t = -\frac{7}{2} \Rightarrow x - 1 = -\frac{7}{2} \Rightarrow x = -\frac{5}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{1; -\frac{5}{2}\right\}$.

2x - 5 = 15

2x = 15 + 5

2x = 20

x = 20 : 2

x = 10