= 67 bạn nhé

Bài 12.

Ta xét số dư của $n$ khi chia cho 4 (vì lũy thừa của các số 2, 3, 4 khi chia cho 5 có tính chất chu kỳ lặp lại theo chu kỳ 4).

Đặt $n = 4k + r$ với $k \in \mathbb{N}$ và $r \in \{0; 1; 2; 3\}$.

Ta xét các trường hợp của $r$:

Trường hợp 1: $r = 0 \Rightarrow n = 4k$ ($k \in \mathbb{N}^*$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \pmod 5$ (Không chia hết cho 5).

- $1^n = 1^{4k} \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k} = 16^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k} = 81^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k} = 256^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 5$

Trường hợp 2: $r = 1 \Rightarrow n = 4k + 1$ ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \equiv 0 \pmod 5$ (Chia hết cho 5).

- $1^n \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k+1} = 2^{4k} \cdot 2 \equiv 1 \cdot 2 = 2 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k+1} = 3^{4k} \cdot 3 \equiv 1 \cdot 3 = 3 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k+1} = 4^{4k} \cdot 4 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

Trường hợp 3: $r = 2 \Rightarrow n = 4k + 2$ ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 4 + 4 + 1 = 10 \equiv 0 \pmod 5$ (Chia hết cho 5).

- $1^n \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k+2} = 2^{4k} \cdot 4 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k+2} = 3^{4k} \cdot 9 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k+2} = 4^{4k} \cdot 16 \equiv 1 \cdot 1 = 1 \pmod 5$

Trường hợp 4: $r = 3 \Rightarrow n = 4k + 3$ ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 3 + 2 + 4 = 10 \equiv 0 \pmod 5$ (Chia hết cho 5).

- $1^n \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k+3} = 2^{4k} \cdot 8 \equiv 1 \cdot 3 = 3 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k+3} = 3^{4k} \cdot 27 \equiv 1 \cdot 2 = 2 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k+3} = 4^{4k} \cdot 64 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

Để $1^n + 2^n + 3^n + 4^n \vdots 5$ thì $n$ là các số tự nhiên không chia hết cho 4 (tức $n \not\vdots 4$).

c) Chứng minh $n^2 + 5n + 4$ hoặc chia hết cho 9 hoặc không chia hết cho 3 với mọi $n \in \mathbb{N}$

Ta phân tích biểu thức $n^2 + 5n + 4$ thành tích:

$n^2 + 5n + 4 = n^2 + n + 4n + 4 = n(n + 1) + 4(n + 1) = (n + 1)(n + 4)$

Ta xét hiệu của hai thừa số:

$(n + 4) - (n + 1) = 3$

Giả sử $(n + 1)(n + 4) \vdots 3$. Vì $3$ là số nguyên tố nên phải có ít nhất một thừa số chia hết cho $3$:

Trường hợp 1: $(n + 1) \vdots 3$.

Vì $(n + 4) = (n + 1) + 3$, mà $(n + 1) \vdots 3$ và $3 \vdots 3$ nên suy ra $(n + 4) \vdots 3$.

Do cả hai thừa số $(n + 1)$ và $(n + 4)$ đều chia hết cho $3$, suy ra tích $(n + 1)(n + 4) \vdots (3 \cdot 3) \Rightarrow (n + 1)(n + 4) \vdots 9$.

Trường hợp 2: $(n + 4) \vdots 3$.

Vì $(n + 1) = (n + 4) - 3$, mà $(n + 4) \vdots 3$ và $3 \vdots 3$ nên suy ra $(n + 1) \vdots 3$.

Do đó cả hai thừa số đều chia hết cho $3$, suy ra tích $(n + 1)(n + 4) \vdots 9$.

Nếu $n^2 + 5n + 4$ chia hết cho $3$ thì nó bắt buộc phải chia hết cho $9$. Do đó, với mọi $n \in \mathbb{N}$, biểu thức $n^2 + 5n + 4$ hoặc chia hết cho $9$ hoặc không chia hết cho $3$. (ĐPCM)

b) Chứng minh $(n + 2)(n + 9)$ hoặc chia hết cho 49 hoặc không chia hết cho 7 với mọi $n \in \mathbb{N}$

Ta xét hiệu của hai thừa số trong tích:

$(n + 9) - (n + 2) = 7$

Giả sử $(n + 2)(n + 9) \vdots 7$. Vì $7$ là số nguyên tố nên phải có ít nhất một thừa số chia hết cho $7$:

Trường hợp 1: $(n + 2) \vdots 7$.

Vì $(n + 9) = (n + 2) + 7$, mà $(n + 2) \vdots 7$ và $7 \vdots 7$ nên suy ra $(n + 9) \vdots 7$.

Do cả hai thừa số $(n + 2)$ và $(n + 9)$ đều chia hết cho $7$, suy ra tích $(n + 2)(n + 9) \vdots (7 \cdot 7) \Rightarrow (n + 2)(n + 9) \vdots 49$.

Trường hợp 2: $(n + 9) \vdots 7$.

Vì $(n + 2) = (n + 9) - 7$, mà $(n + 9) \vdots 7$ và $7 \vdots 7$ nên suy ra $(n + 2) \vdots 7$.

Do đó cả hai thừa số đều chia hết cho $7$, suy ra tích $(n + 2)(n + 9) \vdots 49$.

Nếu $(n + 2)(n + 9)$ chia hết cho $7$ thì nó bắt buộc phải chia hết cho $49$. Do đó, với mọi $n \in \mathbb{N}$, biểu thức $(n + 2)(n + 9)$ hoặc chia hết cho $49$ hoặc không chia hết cho $7$. (ĐPCM)

a) Chứng minh $n(n + 5)$ hoặc chia hết cho 25 hoặc không chia hết cho 5 với mọi $n \in \mathbb{N}$

Ta xét hiệu của hai thừa số trong tích:

$(n + 5) - n = 5$

Giả sử $n(n + 5) \vdots 5$. Vì $5$ là số nguyên tố nên có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: $n \vdots 5$.

Vì $(n + 5) - n = 5 \Rightarrow (n + 5) \vdots 5$.

Do cả hai thừa số $n$ và $(n + 5)$ đều chia hết cho $5$, suy ra tích $n(n + 5) \vdots (5 \cdot 5) \Rightarrow n(n + 5) \vdots 25$.

Trường hợp 2: $(n + 5) \vdots 5$.

Tương tự, vì $(n + 5) - n = 5 \Rightarrow n \vdots 5$.

Do đó cả hai thừa số đều chia hết cho $5$, suy ra $n(n + 5) \vdots 25$.

Nếu $n(n + 5)$ chia hết cho $5$ thì nó bắt buộc phải chia hết cho $25$. Do đó, với mọi $n \in \mathbb{N}$, biểu thức $n(n + 5)$ hoặc chia hết cho $25$ hoặc không chia hết cho $5$. (ĐPCM)

b) Chứng tỏ rằng $(8n + 1) \times (6n + 5) \not\vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$

Ta xét tính chẵn lẻ của từng thừa số trong tích với mọi $n \in \mathbb{N}$:

Thừa số thứ nhất: $8n + 1$

Vì $8n = 2 \cdot 4n \vdots 2$ (số chẵn) và $1 \not\vdots 2$ (số lẻ) nên $(8n + 1)$ là một số lẻ.

Thừa số thứ hai: $6n + 5$

Vì $6n = 2 \cdot 3n \vdots 2$ (số chẵn) và $5 \not\vdots 2$ (số lẻ) nên $(6n + 5)$ là một số lẻ.

Tích của hai số lẻ luôn là một số lẻ (không chia hết cho 2).

Do đó, $(8n + 1) \times (6n + 5) \not\vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

a) Chứng tỏ rằng $(5n + 7) \times (4n + 6) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$

Ta xét biểu thức $(5n + 7) \times (4n + 6)$:

Thừa số thứ hai là:

$4n + 6 = 2(2n + 3) \vdots 2$ với mọi số tự nhiên $n$.

Vì trong tích có thừa số $(4n + 6)$ chia hết cho $2$ nên tích $(5n + 7) \times (4n + 6)$ luôn chia hết cho $2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

Ta xét tính chẵn lẻ của từng thừa số trong tích với mọi $n \in \mathbb{N}$:

Thừa số thứ nhất: $8n + 1$

Vì $8n = 2 \cdot 4n \vdots 2$ (số chẵn) và $1 \not\vdots 2$ (số lẻ) nên $(8n + 1)$ là một số lẻ.

Thừa số thứ hai: $6n + 5$

Vì $6n = 2 \cdot 3n \vdots 2$ (số chẵn) và $5 \not\vdots 2$ (số lẻ) nên $(6n + 5)$ là một số lẻ.

Tích của hai số lẻ luôn là một số lẻ (không chia hết cho 2).

Do đó, $(8n + 1) \times (6n + 5) \not\vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

a) Chứng tỏ rằng $(5n + 7) \times (4n + 6) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$

Ta xét biểu thức $(5n + 7) \times (4n + 6)$:

Thừa số thứ hai là:

$4n + 6 = 2(2n + 3) \vdots 2$ với mọi số tự nhiên $n$.

Vì trong tích có thừa số $(4n + 6)$ chia hết cho $2$ nên tích $(5n + 7) \times (4n + 6)$ luôn chia hết cho $2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

Số vô tỉ là số thực không thể biểu diễn được dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) (với \(a, b \in \mathbb{Z}\) và b ≠ 0).