ĐKXĐ: $\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

$\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x} = \frac{2x + 5}{x(x - 1)}$

$\Rightarrow 2x + 1(x - 1) = 2x + 5$

$\Leftrightarrow 2x + x - 1 = 2x + 5$

$\Leftrightarrow 3x - 2x = 5 + 1$

$\Leftrightarrow x = 6$ (Thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{6\}$.

ĐKXĐ: $x \neq \pm 2$

$\frac{3}{x + 2} - \frac{2}{x - 2} = \frac{2 - x}{(x - 2)(x + 2)}$

$\Rightarrow 3(x - 2) - 2(x + 2) = 2 - x$

$\Leftrightarrow 3x - 6 - 2x - 4 = 2 - x$

$\Leftrightarrow x - 10 = 2 - x$

$\Leftrightarrow x + x = 2 + 10$

$\Leftrightarrow 2x = 12$

$\Leftrightarrow x = 6$ (Thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{6\}$.

ĐKXĐ: $\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$

$\frac{3}{x} - \frac{2}{x - 3} = \frac{4 - x}{x(x - 3)}$

$\Rightarrow 3(x - 3) - 2x = 4 - x$

$\Leftrightarrow 3x - 9 - 2x = 4 - x$

$\Leftrightarrow x - 9 = 4 - x$

$\Leftrightarrow x + x = 4 + 9$

$\Leftrightarrow 2x = 13$

$\Leftrightarrow x = \frac{13}{2}$ (Thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ \frac{13}{2} \right\}$.

ĐKXĐ: $x \neq \pm 5$

$\frac{3}{2(x + 5)} + \frac{2x}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{3}{x - 5}$

$\Rightarrow 3(x - 5) + 2x \cdot 2 = 3 \cdot 2(x + 5)$

$\Leftrightarrow 3x - 15 + 4x = 6(x + 5)$

$\Leftrightarrow 7x - 15 = 6x + 30$

$\Leftrightarrow 7x - 6x = 30 + 15$

$\Leftrightarrow x = 45$ (Thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{45\}$.

e) $(5x + 1)(x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 5x + 1 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 5x = -1 \\ x = 3 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -\frac{1}{5} \\ x = 3 \end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ -\frac{1}{5}; 3 \right\}$.

f) $(x + 1)(2x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x + 1 = 0 \\ 2x - 3 = 0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -1 \\ 2x = 3 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -1 \\ x = \frac{3}{2} \end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ -1; \frac{3}{2} \right\}$.

g) $4x(x + 3) - 5(x + 3) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 3)(4x - 5) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x + 3 = 0 \\ 4x - 5 = 0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -3 \\ 4x = 5 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -3 \\ x = \frac{5}{4} \end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ -3; \frac{5}{4} \right\}$.

h) $8(x - 6) - 2x(6 - x) = 0$

$\Leftrightarrow 8(x - 6) + 2x(x - 6) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 6)(8 + 2x) = 0$

$\Leftrightarrow 2(x - 6)(4 + x) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x - 6 = 0 \\ 4 + x = 0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 6 \\ x = -4 \end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-4; 6\}$.

a) $3x - 7 = 0$

$3x = 7$

$x = \frac{7}{3}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ \frac{7}{3} \right\}$.

b) $8 - 5x = 0$

$-5x = -8$

$x = \frac{-8}{-5}$

$x = \frac{8}{5}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ \frac{8}{5} \right\}$.

c) $3x - 2 = 5x + 8$

$3x - 5x = 8 + 2$

$-2x = 10$

$x = 10 : (-2)$

$x = -5$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-5\}$.

d) $\frac{3x - 2}{3} = \frac{1 - x}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{2(3x - 2)}{6} = \frac{3(1 - x)}{6}$

$\Leftrightarrow 2(3x - 2) = 3(1 - x)$

$\Leftrightarrow 6x - 4 = 3 - 3x$

$\Leftrightarrow 6x + 3x = 3 + 4$

$\Leftrightarrow 9x = 7$

$\Leftrightarrow x = \frac{7}{9}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ \frac{7}{9} \right\}$.

d) $(x + 1)(x + 4) - 3\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 6$

Khai triển tích: $x^2 + 5x + 4 - 3\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 6$

$\Leftrightarrow (x^2 + 5x + 2) - 3\sqrt{x^2 + 5x + 2} - 4 = 0$

Đặt $t = \sqrt{x^2 + 5x + 2}$ ($t \ge 0$).

Phương trình trở thành:

$t^2 - 3t - 4 = 0$

$\Leftrightarrow (t + 1)(t - 4) = 0$

Suy ra:

Trở lại ẩn $x$ với $t = 4$:

$\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 4$

$\Leftrightarrow x^2 + 5x + 2 = 16$

$\Leftrightarrow x^2 + 5x - 14 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)(x + 7) = 0$

Suy ra: $\left[\begin{matrix} x - 2 = 0 \\ x + 7 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = 2 \\ x = -7 \end{matrix}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-7; 2\}$.

c) $2x - x^2 + \sqrt{6x^2 - 12x + 7} = 0$

Biến đổi phương trình:

$\Leftrightarrow -(x^2 - 2x) + \sqrt{6(x^2 - 2x) + 7} = 0$

Đặt $t = \sqrt{6x^2 - 12x + 7} = \sqrt{6(x^2 - 2x) + 7}$ ($t \ge 0$).

$\Rightarrow t^2 = 6(x^2 - 2x) + 7$

$\Rightarrow x^2 - 2x = \frac{t^2 - 7}{6}$

Thay vào phương trình ban đầu:

$-\left(\frac{t^2 - 7}{6}\right) + t = 0$

$\Leftrightarrow \frac{-t^2 + 7 + 6t}{6} = 0$

$\Leftrightarrow -t^2 + 6t + 7 = 0$

$\Leftrightarrow t^2 - 6t - 7 = 0$

$\Leftrightarrow (t + 1)(t - 7) = 0$

Suy ra:

Trở lại ẩn $x$ với $t = 7$:

$\sqrt{6x^2 - 12x + 7} = 7$

$\Leftrightarrow 6x^2 - 12x + 7 = 49$

$\Leftrightarrow 6x^2 - 12x - 42 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - 2x - 7 = 0$

Giải phương trình bằng công thức $\Delta'$:

$\Delta' = (-1)^2 - 1 \cdot (-7) = 1 + 7 = 8 > 0$

$\Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{8} = 1 \pm 2\sqrt{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{1 - 2\sqrt{2}; 1 + 2\sqrt{2}\}$.

b) $\frac{1}{2}\sqrt{x - 1} - \frac{3}{2}\sqrt{9x - 9} + 24\sqrt{\frac{x - 1}{64}} = -17$

Điều kiện xác định:

$x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

Biến đổi phương trình:

$\frac{1}{2}\sqrt{x - 1} - \frac{3}{2}\sqrt{9(x - 1)} + 24 \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{64}} = -17$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{x - 1} - \frac{3}{2} \cdot 3\sqrt{x - 1} + 24 \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{8} = -17$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{x - 1} - \frac{9}{2}\sqrt{x - 1} + 3\sqrt{x - 1} = -17$

$\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2} - \frac{9}{2} + 3\right)\sqrt{x - 1} = -17$

$\Leftrightarrow -1\sqrt{x - 1} = -17$

$\Leftrightarrow \sqrt{x - 1} = 17$

$\Leftrightarrow x - 1 = 289$

$\Leftrightarrow x = 290$ (Thỏa mãn điều kiện $x \ge 1$)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{290\}$.

a) $\sqrt{4x + 20} - 3\sqrt{5 + x} + \frac{4}{3}\sqrt{9x + 45} = 6$

Điều kiện xác định:

$5 + x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -5$

Biến đổi phương trình:

$\sqrt{4(x + 5)} - 3\sqrt{x + 5} + \frac{4}{3}\sqrt{9(x + 5)} = 6$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x + 5} - 3\sqrt{x + 5} + \frac{4}{3} \cdot 3\sqrt{x + 5} = 6$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x + 5} - 3\sqrt{x + 5} + 4\sqrt{x + 5} = 6$

$\Leftrightarrow (2 - 3 + 4)\sqrt{x + 5} = 6$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x + 5} = 6$

$\Leftrightarrow \sqrt{x + 5} = 2$

$\Leftrightarrow x + 5 = 4$

$\Leftrightarrow x = -1$ (Thỏa mãn điều kiện $x \ge -5$)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-1\}$.

A. $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$

Ta phân tích:

$= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 + 4^3$

$= (x + 4)^3$

B. $a^3 + 3a - 3a^2 - 1$

Sắp xếp lại các hạng tử:

$= a^3 - 3a^2 + 3a - 1$

$= a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 - 1^3$

$= (a - 1)^3$

C. $8 - 12x + 6x^2 - x^3$

Ta phân tích:

$= 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 - x^3$

$= (2 - x)^3$

D. $27x + x^3 + 9x^2 + 27$

Sắp xếp lại các hạng tử:

$= x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

$= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3$

$= (x + 3)^3$

E. $-x^3 + 3x^2 - 3x + 1$

Sắp xếp lại các hạng tử:

$= 1 - 3x + 3x^2 - x^3$

$= 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot x + 3 \cdot 1 \cdot x^2 - x^3$

$= (1 - x)^3$

(Hoặc rút dấu minus ra ngoài: $-(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = -(x - 1)^3$)

F. $125 - 15x^2 + 75x - x^3$ (Đề sửa dấu đúng hằng đẳng thức)

Sắp xếp lại các hạng tử:

$= 125 + 75x - 15x^2 - x^3$

$= 5^3 + 3 \cdot 5^2 \cdot (-x) + 3 \cdot 5 \cdot (-x)^2 + (-x)^3$

$= 5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3$

$= (5 - x)^3$

G. $\frac{1}{8}a^3 + \frac{3}{4}a^2b + \frac{3}{2}ab^2 + b^3$

Ta phân tích:

$= \left(\frac{1}{2}a\right)^3 + 3 \cdot \left(\frac{1}{2}a\right)^2 \cdot b + 3 \cdot \left(\frac{1}{2}a\right) \cdot b^2 + b^3$

$= \left(\frac{1}{2}a + b\right)^3$

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) $3 - 4x + 24 + 6x = x + 27 + 3x$

Thu gọn hai vế phương trình:

$\Leftrightarrow (3 + 24) + (-4x + 6x) = (x + 3x) + 27$

$\Leftrightarrow 27 + 2x = 4x + 27$

Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái, các số hạng tự do sang vế phải:

$\Leftrightarrow 2x - 4x = 27 - 27$

$\Leftrightarrow -2x = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{0\}$.

b) $5 - (6 - x) = 4(3 - 2x)$

Bỏ dấu ngoặc và nhân phá ngoặc ở vế phải:

$\Leftrightarrow 5 - 6 + x = 12 - 8x$

$\Leftrightarrow -1 + x = 12 - 8x$

Chuyển ẩn về vế trái, hằng số về vế phải:

$\Leftrightarrow x + 8x = 12 + 1$

$\Leftrightarrow 9x = 13$

$\Leftrightarrow x = \frac{13}{9}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{\frac{13}{9}\right\}$.

c) $x - \frac{x + 1}{3} = \frac{2x + 1}{5}$

Quy đồng mẫu số hai vế với mẫu chung là $15$:

$\Leftrightarrow \frac{15x}{15} - \frac{5(x + 1)}{15} = \frac{3(2x + 1)}{15}$

Khử mẫu hai vế:

$\Leftrightarrow 15x - 5(x + 1) = 3(2x + 1)$

$\Leftrightarrow 15x - 5x - 5 = 6x + 3$

$\Leftrightarrow 10x - 5 = 6x + 3$

Chuyển vế và thu gọn:

$\Leftrightarrow 10x - 6x = 3 + 5$

$\Leftrightarrow 4x = 8$

$\Leftrightarrow x = 2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{2\}$.

d) $\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 2}{7} = x + 13$

Quy đồng mẫu số hai vế với mẫu chung là $21$:

$\Leftrightarrow \frac{7(2x - 1)}{21} - \frac{3(5x + 2)}{21} = \frac{21(x + 13)}{21}$

Khử mẫu hai vế:

$\Leftrightarrow 7(2x - 1) - 3(5x + 2) = 21(x + 13)$

$\Leftrightarrow 14x - 7 - 15x - 6 = 21x + 273$

$\Leftrightarrow -x - 13 = 21x + 273$

Chuyển vế và thu gọn:

$\Leftrightarrow -x - 21x = 273 + 13$

$\Leftrightarrow -22x = 286$

$\Leftrightarrow x = \frac{286}{-22}$

$\Leftrightarrow x = -13$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-13\}$.

Biến đổi phương trình ban đầu:

$(x^2 + 2x)^2 - 6(x^2 + 2x) + 5 = 0$

Đặt $t = x^2 + 2x$.

Phương trình trở thành:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Phương trình bậc hai theo $t$ có các hệ số $a = 1, b = -6, c = 5$.

Ta thấy: $a + b + c = 1 + (-6) + 5 = 0$

Suy ra phương trình có hai nghiệm:

$\left[\begin{matrix} t = 1 \\ t = 5 \end{matrix}\right.$

Trường hợp 1: Với $t = 1$

$x^2 + 2x = 1$

$\Leftrightarrow x^2 + 2x - 1 = 0$

Tính $\Delta'_1 = 1^2 - 1 \cdot (-1) = 1 + 1 = 2 > 0$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{2}$

Trường hợp 2: Với $t = 5$

$x^2 + 2x = 5$

$\Leftrightarrow x^2 + 2x - 5 = 0$

Tính $\Delta'_2 = 1^2 - 1 \cdot (-5) = 1 + 5 = 6 > 0$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$x_{3,4} = -1 \pm \sqrt{6}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-1 - \sqrt{6}; -1 - \sqrt{2}; -1 + \sqrt{2}; -1 + \sqrt{6}\}$.