Giải phương trình: $2x^4 - 6x^3 - x^2 + 12x - 10 = 0$

Tách các hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử:

$2x^4 - 6x^3 - x^2 + 12x - 10 = 0$

$\Leftrightarrow (2x^4 - 4x^2) - (6x^3 - 12x) + (3x^2 - 6) - (4x^2 - 4) = 0$

$\Leftrightarrow 2x^4 - 4x^2 - 6x^3 + 12x + 5x^2 - 10 = 0$

$\Leftrightarrow 2x^2(x^2 - 2) - 6x(x^2 - 2) + 5(x^2 - 2) = 0$

$\Leftrightarrow (x^2 - 2)(2x^2 - 6x + 5) = 0$

Suy ra:

$\left[\begin{matrix} x^2 - 2 = 0 \quad (1) \\ 2x^2 - 6x + 5 = 0 \quad (2) \end{matrix}\right.$

Giải phương trình (1):

$x^2 - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 = 2$

$\Leftrightarrow x = \pm\sqrt{2}$

Giải phương trình (2):

$2x^2 - 6x + 5 = 0$

Ta có: $\Delta' = (-3)^2 - 2 \cdot 5 = 9 - 10 = -1 < 0$

Do $\Delta' < 0$ nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-\sqrt{2}; \sqrt{2}\}$.

Phương trình 3: $x^4 - 12x^3 + x^2 + x + 1 = 0$

Nhận xét $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình.

Chia hai vế của phương trình cho $x^2$, ta được:

$x^2 - 12x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

$\Leftrightarrow \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - \left(12x - \frac{1}{x}\right) + 1 = 0$

Đặt $t = x - \frac{1}{x} \Rightarrow t^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$.

Ta phân tích phương trình thành tích của hai tam thức bậc hai bằng phương pháp hệ số bất định: $x^4 - 12x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 - a x + b)(x^2 - c x + d)$

Đồng nhất hệ số hai vế, ta tìm được hai phương trình bậc hai:

Phương trình (1):

$x^2 - (6 + \sqrt{35})x + \frac{1}{2}(1 + \sqrt{35}) = 0$

Giải phương trình (1) bằng công thức $\Delta$:

$\Delta_1 = (6 + \sqrt{35})^2 - 2(1 + \sqrt{35}) = 36 + 12\sqrt{35} + 35 - 2 - 2\sqrt{35} = 69 + 10\sqrt{35} > 0$

$\Rightarrow x = \frac{6 + \sqrt{35} \pm \sqrt{69 + 10\sqrt{35}}}{2}$

Phương trình (2):

$x^2 - (6 - \sqrt{35})x + \frac{1}{2}(1 - \sqrt{35}) = 0$

Giải phương trình (2) bằng công thức $\Delta$:

$\Delta_2 = (6 - \sqrt{35})^2 - 2(1 - \sqrt{35}) = 36 - 12\sqrt{35} + 35 - 2 + 2\sqrt{35} = 69 - 10\sqrt{35} > 0$

$\Rightarrow x = \frac{6 - \sqrt{35} \pm \sqrt{69 - 10\sqrt{35}}}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

$S = \left\{\frac{6 + \sqrt{35} \pm \sqrt{69 + 10\sqrt{35}}}{2}; \frac{6 - \sqrt{35} \pm \sqrt{69 - 10\sqrt{35}}}{2}\right\}$

Phương trình 2: $x^4 - 2x^3 - 11x^2 + 12x + 36 = 0$

Biến đổi phương trình về dạng:

$(x^2 - x)^2 - 12(x^2 - x) + 36 = 0$

Đặt ẩn phụ $t = x^2 - x$.

Phương trình trở thành:

$t^2 - 12t + 36 = 0$

$\Leftrightarrow (t - 6)^2 = 0$

$\Leftrightarrow t = 6$

Trở lại ẩn $x$, ta có:

$x^2 - x = 6$

$\Leftrightarrow x^2 - x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - 3x + 2x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x(x - 3) + 2(x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 3)(x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x - 3 = 0 \\ x + 2 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = 3 \\ x = -2 \end{matrix}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-2; 3\}$.

Phương trình 1: $2x^4 - x^3 - 9x^2 + 13x - 5 = 0$

Đặt $t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1$.

Thay $x = t + 1$ vào phương trình ban đầu, ta được:

$2(t + 1)^4 - (t + 1)^3 - 9(t + 1)^2 + 13(t + 1) - 5 = 0$

Khai triển các biểu thức:

$2(t^4 + 4t^3 + 6t^2 + 4t + 1) - (t^3 + 3t^2 + 3t + 1) - 9(t^2 + 2t + 1) + 13t + 13 - 5 = 0$

$\Leftrightarrow 2t^4 + 8t^3 + 12t^2 + 8t + 2 - t^3 - 3t^2 - 3t - 1 - 9t^2 - 18t - 9 + 13t + 13 - 5 = 0$

$\Leftrightarrow 2t^4 + 7t^3 = 0$

$\Leftrightarrow t^3(2t + 7) = 0$

Trường hợp 1: $t^3 = 0 \Rightarrow t = 0$

Trường hợp 2: $2t + 7 = 0 \Rightarrow t = -\frac{7}{2}$

Trở lại ẩn $x$:

- Với $t = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

- Với $t = -\frac{7}{2} \Rightarrow x - 1 = -\frac{7}{2} \Rightarrow x = -\frac{5}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{1; -\frac{5}{2}\right\}$.

2x - 5 = 15

2x = 15 + 5

2x = 20

x = 20 : 2

x = 10

= 67 bạn nhé

Bài 12.

Ta xét số dư của $n$ khi chia cho 4 (vì lũy thừa của các số 2, 3, 4 khi chia cho 5 có tính chất chu kỳ lặp lại theo chu kỳ 4).

Đặt $n = 4k + r$ với $k \in \mathbb{N}$ và $r \in \{0; 1; 2; 3\}$.

Ta xét các trường hợp của $r$:

Trường hợp 1: $r = 0 \Rightarrow n = 4k$ ($k \in \mathbb{N}^*$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \pmod 5$ (Không chia hết cho 5).

- $1^n = 1^{4k} \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k} = 16^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k} = 81^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k} = 256^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 5$

Trường hợp 2: $r = 1 \Rightarrow n = 4k + 1$ ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \equiv 0 \pmod 5$ (Chia hết cho 5).

- $1^n \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k+1} = 2^{4k} \cdot 2 \equiv 1 \cdot 2 = 2 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k+1} = 3^{4k} \cdot 3 \equiv 1 \cdot 3 = 3 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k+1} = 4^{4k} \cdot 4 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

Trường hợp 3: $r = 2 \Rightarrow n = 4k + 2$ ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 4 + 4 + 1 = 10 \equiv 0 \pmod 5$ (Chia hết cho 5).

- $1^n \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k+2} = 2^{4k} \cdot 4 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k+2} = 3^{4k} \cdot 9 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k+2} = 4^{4k} \cdot 16 \equiv 1 \cdot 1 = 1 \pmod 5$

Trường hợp 4: $r = 3 \Rightarrow n = 4k + 3$ ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 3 + 2 + 4 = 10 \equiv 0 \pmod 5$ (Chia hết cho 5).

- $1^n \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k+3} = 2^{4k} \cdot 8 \equiv 1 \cdot 3 = 3 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k+3} = 3^{4k} \cdot 27 \equiv 1 \cdot 2 = 2 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k+3} = 4^{4k} \cdot 64 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

Để $1^n + 2^n + 3^n + 4^n \vdots 5$ thì $n$ là các số tự nhiên không chia hết cho 4 (tức $n \not\vdots 4$).

c) Chứng minh $n^2 + 5n + 4$ hoặc chia hết cho 9 hoặc không chia hết cho 3 với mọi $n \in \mathbb{N}$

Ta phân tích biểu thức $n^2 + 5n + 4$ thành tích:

$n^2 + 5n + 4 = n^2 + n + 4n + 4 = n(n + 1) + 4(n + 1) = (n + 1)(n + 4)$

Ta xét hiệu của hai thừa số:

$(n + 4) - (n + 1) = 3$

Giả sử $(n + 1)(n + 4) \vdots 3$. Vì $3$ là số nguyên tố nên phải có ít nhất một thừa số chia hết cho $3$:

Trường hợp 1: $(n + 1) \vdots 3$.

Vì $(n + 4) = (n + 1) + 3$, mà $(n + 1) \vdots 3$ và $3 \vdots 3$ nên suy ra $(n + 4) \vdots 3$.

Do cả hai thừa số $(n + 1)$ và $(n + 4)$ đều chia hết cho $3$, suy ra tích $(n + 1)(n + 4) \vdots (3 \cdot 3) \Rightarrow (n + 1)(n + 4) \vdots 9$.

Trường hợp 2: $(n + 4) \vdots 3$.

Vì $(n + 1) = (n + 4) - 3$, mà $(n + 4) \vdots 3$ và $3 \vdots 3$ nên suy ra $(n + 1) \vdots 3$.

Do đó cả hai thừa số đều chia hết cho $3$, suy ra tích $(n + 1)(n + 4) \vdots 9$.

Nếu $n^2 + 5n + 4$ chia hết cho $3$ thì nó bắt buộc phải chia hết cho $9$. Do đó, với mọi $n \in \mathbb{N}$, biểu thức $n^2 + 5n + 4$ hoặc chia hết cho $9$ hoặc không chia hết cho $3$. (ĐPCM)

b) Chứng minh $(n + 2)(n + 9)$ hoặc chia hết cho 49 hoặc không chia hết cho 7 với mọi $n \in \mathbb{N}$

Ta xét hiệu của hai thừa số trong tích:

$(n + 9) - (n + 2) = 7$

Giả sử $(n + 2)(n + 9) \vdots 7$. Vì $7$ là số nguyên tố nên phải có ít nhất một thừa số chia hết cho $7$:

Trường hợp 1: $(n + 2) \vdots 7$.

Vì $(n + 9) = (n + 2) + 7$, mà $(n + 2) \vdots 7$ và $7 \vdots 7$ nên suy ra $(n + 9) \vdots 7$.

Do cả hai thừa số $(n + 2)$ và $(n + 9)$ đều chia hết cho $7$, suy ra tích $(n + 2)(n + 9) \vdots (7 \cdot 7) \Rightarrow (n + 2)(n + 9) \vdots 49$.

Trường hợp 2: $(n + 9) \vdots 7$.

Vì $(n + 2) = (n + 9) - 7$, mà $(n + 9) \vdots 7$ và $7 \vdots 7$ nên suy ra $(n + 2) \vdots 7$.

Do đó cả hai thừa số đều chia hết cho $7$, suy ra tích $(n + 2)(n + 9) \vdots 49$.

Nếu $(n + 2)(n + 9)$ chia hết cho $7$ thì nó bắt buộc phải chia hết cho $49$. Do đó, với mọi $n \in \mathbb{N}$, biểu thức $(n + 2)(n + 9)$ hoặc chia hết cho $49$ hoặc không chia hết cho $7$. (ĐPCM)

a) Chứng minh $n(n + 5)$ hoặc chia hết cho 25 hoặc không chia hết cho 5 với mọi $n \in \mathbb{N}$

Ta xét hiệu của hai thừa số trong tích:

$(n + 5) - n = 5$

Giả sử $n(n + 5) \vdots 5$. Vì $5$ là số nguyên tố nên có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: $n \vdots 5$.

Vì $(n + 5) - n = 5 \Rightarrow (n + 5) \vdots 5$.

Do cả hai thừa số $n$ và $(n + 5)$ đều chia hết cho $5$, suy ra tích $n(n + 5) \vdots (5 \cdot 5) \Rightarrow n(n + 5) \vdots 25$.

Trường hợp 2: $(n + 5) \vdots 5$.

Tương tự, vì $(n + 5) - n = 5 \Rightarrow n \vdots 5$.

Do đó cả hai thừa số đều chia hết cho $5$, suy ra $n(n + 5) \vdots 25$.

Nếu $n(n + 5)$ chia hết cho $5$ thì nó bắt buộc phải chia hết cho $25$. Do đó, với mọi $n \in \mathbb{N}$, biểu thức $n(n + 5)$ hoặc chia hết cho $25$ hoặc không chia hết cho $5$. (ĐPCM)